¿Por qué es cierto que $\lim_{n\to\infty} \left(\int_a^b \left|f(x)\right|^ndx\right)^{1/n} = \text{sup}\{\left|f(x)\right| : x \in [a,b]\}$?

Question

¿Alguien puede explicar la intuición detrás de este / a lo que la prueba podría para esto?

Si $f$ es una función continua, valor real en $[a,b]$, entonces \begin{equation} \lim_{n\to\infty} \left(\int_a^b \left|f(x)\right|^ndx\right)^{1/n} = \text{sup}\{\left|f(x)\right| : x \in [a,b]\} \end{equation}

Parece que es una forma de promedio $\left|f(x)\right|$, similar a cómo el número de Lyapunov es un promedio de todas las pistas de una órbita en un sistema dinámico.

Answer 1

Que $M = \sup \{|f(x)|: x \in [a,b]\}$ y Supongamos que $M > 0$. $M > \epsilon > 0$, Si $\delta > 0$ es lo suficientemente pequeño hay un intervalo de la longitud de % que $\le \delta$ $|f(x)| > M - \epsilon$. Por lo tanto

$$ M^n (b-a) \ge \int_a^b |f(x)|^n\; dx \ge \delta (M-\epsilon)^n $$

Tomar el poder de $1/n$ y luego limitar como $n \to \infty$ y usar el teorema del apretón.