Determinar el Grupo de Galois de $(x^2-2)(x^2-3)(x^2-5)$

Question

Determinar todos los subcampos de los campos de división de este polinomio.

He elegido este problema porque creo que completarlo con gran detalle será una gran herramienta de estudio para todo el último capítulo, también. (Estoy usando Dummit & Foote).

¿Me pueden ayudar a esbozar el método? Tengo que encontrar primero el campo de división, ¿correcto? ¿Existe una observación más elegante que señalar que puedo utilizar diferencia de cuadrados factorización y reescribir el polinomio como $(x- \sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})$ donde ninguno de los $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ están en el campo $\mathbb{Q}$ ? (El problema no dice que este sea el campo base, pero lo asumo.) Entonces el campo de división es $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5})$ . ¿Es así como recomiendas encontrar el campo de división, es decir, calculando explícitamente las raíces y asegurándote de que tu extensión las contiene? Me gustaría que hubiera una forma más teórica de hacer esto que se aplicara a cualquier polinomio.

Ahora, para encontrar el grupo de Galois, ¿se calculan exhaustivamente los automorfismos y se observa simplemente qué elementos fija el automorfismo para encontrar el campo fijo correspondiente? Esto parece complicarse muy rápidamente. ¿Existe alguna maquinaria teórica que ayude en esto también?

Una vez encontrados los campos fijos, a partir del Teorema Fundamental de la Teoría de Galois sé que existe una correspondencia entre los campos fijos y los subcampos, por lo que si encuentro todo campos fijos de automorfismos, habré encontrado todo subcampos.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Nótese que cualquier automorfismo $\sigma$ debe enviar $\alpha\in \mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3,\sqrt5)$ a otra raíz del polinomio mínimo de $\alpha$ . En particular, $\sigma\sqrt2=\pm \sqrt2,\sigma\sqrt3=\pm\sqrt3,$ y $\sigma\sqrt5=\pm\sqrt5$ . Desde $\{\sqrt2,\sqrt3,\sqrt5\}$ es un conjunto generador de $\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3,\sqrt5)$ como un campo sobre $\mathbb Q$ vemos que $\sigma$ está determinada de forma única por $\sigma\sqrt2,\sigma\sqrt3,$ y $\sigma\sqrt5$ . Así, los únicos automorfismos posibles son $$\begin{align} a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt5&\mapsto a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt5\\ a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt5&\mapsto a-b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt5\\ &\vdots\\ a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt5&\mapsto a-b\sqrt2-c\sqrt3-d\sqrt5\\ \end{align}$$ y para demostrar que todos ellos son automorfismos, basta con mostrar que hay exactamente $8$ automorfismos de $\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3,\sqrt5)$ . Desde $\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3,\sqrt5)$ es el campo de división de un polinomio, sabemos que es de Galois, por lo que el número de automorfismos que tiene es igual a su grado. Recordemos que $$[\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3,\sqrt5):\mathbb Q]=[\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3,\sqrt5):\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)][\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3):\mathbb Q(\sqrt2)][\mathbb Q(\sqrt2):\mathbb Q]$$ por lo que basta con demostrar que cada grado del lado derecho es $2$ . Está claro que son como máximo $2$ ya que cada extensión se obtiene uniendo una raíz de un polinomio cuadrático. Por lo tanto, basta con demostrar que cada extensión en el lado derecho es no trivial, es decir, que $\sqrt2\notin \mathbb Q,\sqrt3\notin \mathbb Q(\sqrt2)$ y $\sqrt5\notin \mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)$ . El primero es un famoso teorema. Dado que $\mathbb Q(\sqrt2)$ tiene base $\{1,\sqrt2\}$ Si $\sqrt3\in \mathbb Q(\sqrt2)$ tendríamos $\sqrt3=a+b\sqrt2$ con $a,b\in\mathbb Q$ Así que $3=a^2+2b^2+2ab\sqrt2$ . Desde $\sqrt2$ es irracional debemos tener $2ab=0$ Así que $a=0$ o $b=0$ Por lo tanto, sólo tenemos que observar que $3$ y $3/2$ no son cuadrados en $\mathbb Q$ . La misma técnica (con algún esfuerzo adicional) funciona para demostrar que $\sqrt5\notin \mathbb Q (\sqrt2,\sqrt3)$ observando que $\{1,\sqrt2,\sqrt3,\sqrt6\}$ es una base para $\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)$ .

Una vez que veas que estos son los automorfismos, debería ser relativamente fácil ver cuáles son sus campos fijos. Por ejemplo, el mapa $$a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt5\mapsto a-b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt5$$ tiene campo fijo $\mathbb Q(\sqrt3,\sqrt5)$ mientras que el mapa $$a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt5\mapsto a-b\sqrt2-c\sqrt3+d\sqrt5$$ tiene campo fijo $\mathbb Q(\sqrt6,\sqrt5)$ (por qué $\sqrt6$ ?). Estos campos fijos son todos los subcampos máximos de $\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3,\sqrt5)$ y las restantes intersecciones son intersecciones por pares de estos subcampos (ya que los únicos otros subgrupos no triviales del grupo de Galois están generados por pares de automorfismos), que son fáciles de determinar.

Answer 2

Para añadir a la respuesta del Sr. Becker, una forma más fácil de ver que $\sqrt 5 \notin \mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)$ (una vez que se haya determinado que ese $\sqrt 2, \sqrt 3$ y $\sqrt 6$ son linealmente independientes sobre $\mathbb Q$ ) es notar que el grupo de Galois de $\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)$ es el grupo de Klein-4, que tiene 3 subgrupos de orden 2. Por el teorema fundamental de la teoría de Galois, estos subgrupos corresponden a las extensiones cuadráticas $\mathbb Q(\sqrt 2), \mathbb Q(\sqrt3)$ y $\mathbb Q(\sqrt 6)$ . Siguiendo los mismos pasos utilizados para demostrar que $\sqrt 2 \notin \mathbb Q(\sqrt 3)$ se puede ver que $\sqrt 5$ no pertenece a ninguna de las extensiones cuadráticas mencionadas. Por lo tanto, si $\sqrt 5 \in \mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)$ entonces $\mathbb Q(\sqrt 5)$ constituiría una cuarta extensión cuadrática, correspondiente a un cuarto subgrupo de grado 2 en el grupo de Klein-4, una contradicción.

Answer 3

Así que para tu primera pregunta, el campo de división será generado por las raíces del polinomio que estás tratando de dividir. A veces, algunas de las raíces pueden tener relaciones y hacer que algunas otras raíces sean redundantes, y también, habrá veces que es "más agradable" encontrar algunos otros generadores para su polinomio (por ejemplo, el campo de división para $x^4-10$ sería $\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[4]{10})$ , donde $\omega$ es la raíz cuarta primitiva de la unidad).

Volviendo a tu problema, toma tu polinomio y factorízalo en polinomios mónicos irreducibles. En tu caso obtendrías que $(x^2-2)(x^2-3)(x^2-5)$ ya está factorizado en partes irreducibles. Nótese que $x^2-2$ es el polinomio mínimo de $\sqrt{2}$ Así que $\sqrt{2}$ sólo puede asignarse a $\pm\sqrt{2}$ de forma similar para $\sqrt{3}$ y $\sqrt{5}$ . Esto reduce mucho las posibilidades de tus mapeos. Tienes que puedes enviar $\sqrt{2}$ a $\pm\sqrt{3}$ , $\sqrt{3}$ a $\pm\sqrt{3}$ y $\sqrt{5}$ a $\pm\sqrt{5}$ . Cada combinación de posibilidades le da un automorfismo, por lo que su Grupo de Galois será de orden $2^3=8$ También hay que tener en cuenta que todo mapa es de orden $2$ por lo que el único grupo con orden $8$ y cada elemento de orden $2$ es $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ .

A partir de aquí es sencillo calcular los campos fijos. Digamos que se tiene el automorfismo que niega $\sqrt{2}$ y $\sqrt{3}$ pero arregla $\sqrt{5}$ entonces el campo fijo sería simplemente $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ (¿ves por qué?), y es lo mismo para cada automorfismo.