¿Qué es un simple axiomatización de grupos utilizando la división?

Question

Recuerdo de un viejo ejercicio que hice como un pregrado que los grupos pueden ser axiomatised usando la división en lugar de la multiplicación:

Un grupo es un conjunto no vacío equipado con una división binaria / operador de la satisfacción de algunos axiomas ecuacionales.

No recuerdo los axiomas, pero sí recuerdo que $x/y = x\cdot y^{-1}$. Debido a $x/x = 1$ $1/x = x^{-1}$ podemos recuperar la estructura del grupo mediante el establecimiento $x\cdot y = x/(1/y)$, por lo que tal axiomatisation que debe de existir.

Sin embargo, estoy interesado en un simple, de preferencia natural, axiomatisation. ¿Alguien sabe de uno?

También, si usted sabe un clásico de referencia para este resultado/ejercicio, voy a estar agradecido.

Answer 1

$x/x=1$ % Todo $x$$G$y $x/1=x$, así que hay un único elemento $1$ % todo $x/x$es igual a la. $(x/(1/y))/(1/z)= x/(1/(y/(1/z))$ es claramente equivalente a la ley de grupo asociativo donde $x/(1/y)=x*y$. Así tenemos la ley asociativa y la $1$ definidos es sin duda una identidad. Para inversas, puede haber definir $1/(1/x)=x$ para que $x*1/x=1$ como desee. Tal vez hay una limpiador de formulación de la regla asociativa aunque los demás parecen bastante naturales.