Convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\, \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2}\,\right)$

Question

¿Qué criterio puedo utilizar para demostrar la convergencia de $$ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\,{1 \over n} - {1 \over n + 2}\,\right)\ {\large ?} $$

Mi idea era utilizar la prueba de proporción: $$\displaystyle{1 \over n} - {1 \over n+2} = {2 \over n^{2} + 2n}$$ $$\displaystyle\frac{2}{\left(\, n + 1\,\right)^{2} + 2\left(\, n + 1\,\right)} \frac{n^{2} + 2n}{2} = \frac{n^{2} + 2n}{n^{2} + 4n + 3}$$

Por supuesto $\displaystyle n^{2} + 2n \lt n^{2} + 4n + 3$ para todos $\displaystyle n$ pero $$\displaystyle\lim \limits_{n \to \infty} \frac{n^{2} + 2n}{n^{2} + 4n + 3}=1$$ por lo que no estoy muy seguro de poder aplicar la prueba de la proporción.

Answer 1

Yo escribiría los primeros términos y vería cómo se cancelan.

Answer 2

¿Qué tal si calculamos las sumas parciales? Para cualquier $N>2$ que tenemos:

$$\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right) = \frac{3}{2}-\frac{1}{N+1}-\frac{1}{N+2}$$ por lo tanto: $$\left|\frac{3}{2}-\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)\right|\leq\frac{2}{N}$$ garantiza la convergencia (hacia $\frac{3}{2}$ ).

Answer 3

Usted tiene $\frac{2}{n^2+n} \le \frac{2}{n^2}$ . De este modo, se puede utilizar el prueba de comparación directa para demostrar la convergencia (si ya ha demostrado en su curso que $\sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2}$ y por lo tanto también $\sum_{n=1}^\infty \frac 2{n^2}$ converge).

Respuesta a su segunda pregunta: Nunca se puede aplicar la prueba de la proporción si el límite es 1 (como en este caso).

Answer 4

Esta es otra forma de demostrar la convergencia $$ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \left(\frac1n - \frac{1}{n+2}\right)= \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n+2-n}{n(n+2)} $$ $$= \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^2+2n}=2 \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+2n} $$ También hay que tener en cuenta que $$ \left|\frac{1}{n^2+2n}\right|\leq \left|\frac{1}{n^2}\right| $$ Y por la prueba de la serie p, tenemos $$ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \left|\frac{1}{n^2}\right| \Rightarrow \mbox{converges} $$ Lo que implica que $$ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \Rightarrow \mbox{converges absolutely} $$ Por lo tanto, por la prueba de comparación directa $$ 2 \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+2n} \Rightarrow \mbox{converges absolutely} $$ La convergencia absoluta implica la convergencia. También una serie convergente multiplicada por $2$ sigue siendo una serie convergente.

Answer 5

Puede utilizar la prueba de comparación de límites. Sea $a_{n} = \frac{2}{n^{2}+2n}$ y considerar $b_{n} = \frac{1}{n^{2}}$ entonces

$$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}= \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{2n^{2}}{n^{2}+2n} = 2$$

por lo que $\sum a_{n}$ y $\sum b_{n}$ convergen o divergen juntos pero $b_{n}$ es un convergente $p$ -serie.

Dicho esto, mi voto es para Mark Bennet.