Mostrar $\int_0^a f(x)\,dx + \int_0^b f^{-1}(x)\,dx \ge ab$ para una función estrictamente creciente $f(x)$

Question

Dejemos que $f: [0, \infty) \to [0, \infty)$ sea continua y estrictamente creciente y con $f(0) = 0$ . Demostrar que $$\int_0^a f(x)\,dx + \int_0^b f^{-1}(x)\,dx \ge ab$$ para cualquier $a, b > 0$ y dar una condición para que la igualdad se mantenga.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\int_0^cf(x)\,dx+\int_0^{f(c)}f^{-1}(x)\,dx=cf(c)$$

Puedes pensar en esto como el área del rectángulo con $(0,0)$ para una esquina y $(c,f(c))$ para la esquina opuesta.

Sin pérdida de generalidad, dejemos que $f(a)\le b$ . Entonces $$\int_0^af(x)\,dx+\int_0^bf^{-1}(x)\,dx=af(a)+\int_{f(a)}^bf^{-1}(x)\,dx$$

Ahora bien, como $f(x)$ es estrictamente creciente, tenemos $f^{-1}(x)>a$ para $x>f(a)$ . Por lo tanto, $$\int_{f(a)}^bf^{-1}(x)\,dx\ge a\left(b-f(a)\right)$$ con igualdad si y sólo si $b=f(a)$ .

Uniendo todo esto, obtenemos $$\int_0^af(x)\,dx+\int_0^bf^{-1}(x)\,dx\ge af(a)+a(b-f(a))=ab$$ con igualdad si y sólo si $b=f(a)$ .

Answer 2

Observamos que las integrales están bien definidas por el Teorema 6.9 de Rudin Principios del análisis matemático .

Teorema 6.9 (Rudin). Si $f$ es monótona en $[a, b]$ y si $\alpha$ es continua en $[a, b]$ entonces $f \in \mathscr{R}(\alpha)$ . (Seguimos asumiendo, por supuesto, que $\alpha$ es monótona).

Por definición, existe una secuencia de particiones $(P_n)$ de $[0, a]$ tal que $$U(P_n, f) \to \int_0^a f(x)\,dx$$ y la secuencia de particiones $(Q_n)$ de $[0, b]$ tal que $$L(Q_n, f^{-1}) \to \int_0^b f^{-1}(x)\,dx.$$ Dejemos que $P_n' = P_n \cap f^{-1}(Q_n)$ , $\tilde{P}_n = P_n' \cap [0, a]$ , $Q_n' = Q_n \cap f(P_n)$ y $\tilde{Q}_n = Q_n' \cap [0, b]$ . Entonces $U(\tilde{P}_n, f) \le U(P_n, f)$ , $L(\tilde{Q}_n, f^{-1}) \ge L(Q_n, f^{-1})$ y así tenemos $$U(\tilde{P}_n, f) \to \int_0^a f(x)\,dx,\text{ }L(\tilde{Q}_n, f^{-1}) \to \int_0^b f^{-1}(x)\,dx.$$ Sustituir $P_n$ por $\tilde{P}_n$ y $Q_n$ con $\tilde{Q}_n$ . Porque $f$ es estrictamente creciente, $$U(P_n, f) = \sum_{i=1}^p f(x_i)(x_i - x_{i-1}),$$ donde $P_n = \{x_0, \dots, x_p\}$ y de forma similar, $$L(Q_n, f^{-1}) = \sum_{j=1}^q f^{-1}(y_{j-1})(y_j - y_{j-1}),$$ donde $Q_n = \{y_0, \dots, y_q\}$ . También, $$ab = \left(\sum_{i=1}^p (x_i - x_{i-1})\right)\left( \sum_{j=1}^q(y_j - y_{j-1})\right).$$ Dejemos que $P_n' = \{x_0, \dots, x_p, \dots, x_{p'}\}$ y $Q_n' = \{y_0, \dots, y_q, \dots, y_{q'}\}$ . Teniendo en cuenta esto, podemos escribir $$U(P_n, f) = \sum_{i=1}^p \sum_{y_j \le f(x_i)} (y_j - y_{j-1})(x_i - x_{i-1}) = \sum_{i=1}^p \sum_{y_j \le f(x_i)} (x_i - x_{i-1})(y_j - y_{j-1})$$ y $$L(Q_n, f^{-1}) = \sum_{j=1}^q \sum_{x_i \le f^{-1}(y_{j-1})}(x_i - x_{i-1})(y_j - y_{j-1}) = \sum_{j=1}^q \sum_{f(x_i) < y_j} (x_i - x_{i-1})(y_j - y_{j-1}),$$ obtenemos $ab \le U(P_n, f) + L(Q_n, f^{-1})$ ya que el lado izquierdo implica la suma de menos términos. Tomando los límites se obtiene la identidad requerida.

Cuando $f(a) = b$ obtenemos la igualdad porque las sumas son iguales. Para ver lo contrario, utilizamos un argumento como el del ejercicio 6.2 de la obra de Rudin Principios del análisis matemático .

Ejercicio 6.2 (Rudin). Supongamos que $f \ge 0$ , $f$ es continua en $[a, b]$ y $\int_a^b f(x)\,dx = 0$ . Entonces $f(x) = 0$ para todos $x \in [a, b]$ . (Ver aquí para una solución).

Si $f(a) > b$ , encontrar un vecindario $N$ de los cuales esto es cierto; una de las sumas en el argumento anterior consistirá en más términos y la contribución extra no convergerá a cero ya que esta contribución está dando $\int_N (f(x) - b)\,dx > 0$ . Del mismo modo, si $f(a) < b$ .

Answer 3

Como @Peter Woolfitt proporcionar la solución, Aquí está mi punto de vista

Establecer $f(x)=y,x=\varphi(y)$

$\varphi(f(x))=x$

Establecer $\displaystyle F(t)=\int_0^af(x)dx+\int_0^t\varphi(y)dy-at$

tomar la derivada de ésta con respecto a $F(t)$

tenemos $F'(t)=\varphi(t)-a$

y por las condiciones $\varphi(0)=0$ , $\varphi(t)$ monótona creciente.

Establecer $F'(t)=0$ Tenemos $\varphi(t_0)=a$ y $t_0=\varphi^{-1}(a)=f(a)$

Cuando $t \in (0,t_0)$ , $F(t)$ monótona decreciente, $t \in (t_0,+\infty)$ , $F(t)$ monótona creciente

$$ F(t_0)=\int_0^af(x)dx+\int_0^{t_0}\varphi(y)dy-at_0\\ $$

$$ F(t_0)=\int_0^af(x)dx+\int_0^{f(a)}\varphi(y)dy-af(a)\\ $$

cambio de variable $$ F(t_0)=\int_0^af(x)dx+\int_0^{a}\varphi(f(x))d(f(x))-af(a)\\ $$

$$ F(t_0)=\int_0^af(x)dx+\int_0^{a}xd(f(x))-af(a)\\ $$

$$ F(t_0)=\int_0^af(x)dx+xf(x)\Big|_0^a-\int_0^{a}f(x)d(x)-af(a)=0\\ $$

Finalmente, tenemos $F(t)\geqslant 0$ cuando $t_0=f(a)=b$ , $a=\varphi(b)$ la ecuación se cumple

$$ \int_0^af(x)dx+\int_0^b\varphi(y)dy=ab $$