Iteración del polinomio tiene sólo raíces positivas

Question

Deje $P(x)$ ser un polinomio real positiva con el coeficiente inicial, y $k\geq 2$ un entero.

Supongamos que $Q(x)=P(P(\dots(P(x))\dots))$, donde se $k$ iteraciones de $P$'s, tiene al menos uno de los efectos positivos de la raíz y el verdadero valor no positivo de la raíz. Siempre mantenga ese $P(x)$ tiene al menos uno de los efectos positivos de la raíz y el verdadero valor no positivo de la raíz?

Es cierto que $P(x)$ debe tener al menos uno de los efectos positivos de la raíz - si no, $P(x)>0$ todos los $x>0$, lo $P(P(x))>0$ todos los $x>0$ y así sucesivamente, lo que implica que $Q(x)$ no tiene ningún positivo de la raíz. La pregunta ahora es si $P(x)$ no tienen un verdadero valor no positivo de la raíz.

Answer 1

Deje $P_k(x)=P(P(...(x))$ $k$ iteraciones de $P$.

Supongamos (por contradicción) que $P(x)$ tiene un no positivo de la raíz de $s$ y deje $r$ positivo de la raíz de $P(x)$, de modo que $P(x)=(x-r)(x-s)f(x)$.

A continuación,$P_2(x)= (P(x)-r)(P(x)-s)g(x)$. Tenga en cuenta que $P(x)$ debe tener arbitarily valores negativos grandes o arbit. grandes valores positivos a la izquierda de $s$; por lo tanto $P(x)=r$ o $P(x)=s$ algunos $x \leq s \leq 0$.

Ahora $P_3(x)=(P_2(x)-r)(P_2(x)-s)h(x)$ y repitiendo el mismo argumento, nos inductivamente demostrar que cada una de las $P_k(x)$, y, por tanto,$Q(x)$, debe tener un aspecto positivo de la raíz y de un no positivo de la raíz, dando la deseada contradicción.