Cálculo: ¿por qué se define tasa de cambio como $dy/dx$?

Question

Estoy empezando a aprender Cálculo utilizando Morris Klines' impresionante libro "Cálculo, una interfaz intuitiva y de acercamiento físico." Realmente me gusta hasta ahora.

Estoy justo en el comienzo, y después de aprender a diferenciar que me estaba preguntando por qué la tasa de cambio se define exactamente el mismo para cada función. Permítanme explicar.

Si tenemos, por ejemplo, con las funciones de describir la distancia recorrida en el tiempo, y la búsqueda de la velocidad exacta en un momento determinado a lo largo de esta distancia, entonces estoy totalmente de entender por qué definimos la tasa de cambio como $\frac{dy}{dx}$ - se deduce perfectamente a la forma física de la velocidad se define y se calcula: velocidad=distancia/tiempo. Aquí, $dy$=diferencia en distancia='distancia' y $dx$=diferencia en el tiempo='una cantidad de tiempo". Así que tiene sentido para mí. Todo lo que queda por hacer es $dx$ (tiempo) se aproxima a 0 y calcular el resultado.

Mi confusión viene cuando tratamos con otros tipos de magnitudes físicas. Las cantidades físicas, cuya definición física\cálculo no tiene nada que ver con la división. Como ejemplo vamos a ver el área de un rectángulo: $A=a*b$. Me permite diferenciar, por favor, por lo que verás a lo que me refiero.

(¿ Me perdone como yo no sé cómo escribir subíndices en este foro.)

Supongamos que a es una constante y b es la variable independiente. Se deduce entonces que para $b=b_1$ obtenemos:

$a_1 = a\cdot b_1.$

$a_2 = a\cdot (b_1+db)=a\cdot b_1+a\cdot d_b.$

$da = a_2-a_1=a\cdot b_1+a\cdot db-a\cdot b_1 = a\cdot db.$

Tan lejos, tan bueno. Pero luego, en el libro, por alguna extraña y extraña razón, nos simpy dividir ambos lados de la ecuación por $db$.

Como se mencionó anteriormente, el área de un rectángulo se define por la MULTIPLICACIÓN de dos lados adyacentes. No tiene nada que ver con la división. Para encontrar la tasa de cambio del rectángulo de área también debe tener nada que ver con la división. (En mi opinión, claro, y yo voy a sooon explicar por qué).

Usted puede decirme que "la tasa de cambio de los rectángulos' área' es sólo la mitad de la frase - debe estar en relación a algo, y que es donde la división viene. Cuando se mira la relación entre dos cosas matemáticamente - que los separan. Por lo tanto, la relación es el cociente por definición. Pero no estoy de acuerdo, y aquí es por qué.

De la OMI, a la derecha, donde nos detuvimos cuando encontramos los derivados de los rectángulos de área ES la definición de 'tasa de cambio en el área del rectángulo con relación a uno de sus lados' - está justo ahí, en la última ecuación es la diferencia en las áreas de ($dA$) entre un rectángulo cuyo lado es $b_1$ y otro cuyo lado es un poco más largo, $b_1+db$. Veo aquí a tres variables: $dA$, $b_1$ y $db$. Para mí, la ecuación es también una relación matemática entre ellos el que se explica cómo cambian con relación al otro.

Siguiendo esta lógica, todo lo que necesitamos hacer ahora es dejar db se hacen más pequeños y más pequeños hasta que se llega a $0$ encontrar el cambio exacto en el área en $b_1$. Pero cuando lo hacemos, todo el lado derecho es igual a $0$. (Que representa a la razón, por la forma, porque lo que en realidad significa es que debemos restar las áreas de los dos rectángulos idénticos - así que, de hecho, deberían cero y cancelar).

Para mí, esto parece la forma correcta de calcular la tasa de cambio en ESTA SITUACIÓN EN PARTICULAR - un área de un rectángulo con un lado fijo como el otro varía, como en comparación con dividiendo $dA$$db$.

A mí me parece que a veces, el uso de $\frac{dy}{dx}$ realmente es el derecho y la opción lógica, y en otros, el uso a una especie de "trampa", porque es un truco algebraico que los rendimientos de nosotros una solución distinta de 0.

Así que, ¿por qué es que definimos la tasa de cambio EXACTAMENTE el mismo para cada función?

Answer 1

Además de pensar de los instrumentos financieros derivados de tasas de cambio, uno puede pensar en ello como "la mejor aproximación lineal". Dada cualquier función de $f $ dependiendo de la variable $x $ podemos preguntar cuál es la mejor aproximación lineal de la función alrededor de un cierto valor fijo $x_0$ es. La respuesta es que $f (x_0+\epsilon) \approx f (x_0)+\epsilon f'(x_0) $ donde $f'(x_0) $ es el derrivative de $f $ evaluado en $x_0$, que es la pendiente de la función en ese punto. Esta interpretación se generaliza fácilmente a funciones de varias variables.

Al pensar en las tasas de cambio, imaginar un rectángulo cuya uno de los lados tiene una longitud fija $l $ y el otro depende del tiempo. Supongamos que el otro lado depende de la hora a través de $b (t)=ct $ donde $c $ tiene unidades de velocidad, es decir: El $b $ de los lados del rectángulo se mueve con velocidad de $c $ haciendo que el área del rectángulo más grande con el tiempo. El área como una función del tiempo es $A (t)=lb (t)=lct $. La tasa de cambio en unidades de área/tiempo. Es $\frac {dA}{dt}(t)=lc $. Lo que esto significa es que si usted tiene un área $A_0$ en algún momento $t_0$ y esperar una cantidad muy pequeña de tiempo $\delta t$, su área aumenta a una muy buena aproximación (que se vuelve mejor con el menor $\delta t $) para convertirse en el valor de $A(t_0+\delta t)\approx A_0+ \delta t\cdot \frac {dA}{dt}(t_0)$.

Seguramente usted encuentra este intuitivo como lo es básicamente la misma velocidad. El ejemplo anterior justifica la identificación de "cambio absoluto de una función debido a un pequeño cambio de la variable independiente" y "tasa de cambio de veces un pequeño cambio de la variable independiente". Estas dos cosas son casi iguales y la diferencia entre ellas es menor si se realiza el cambio en la variable de menor tamaño. La diferencia es también pequeña, si la función se ve "lineal" en el valor inicial de la variable en lugar de "fluctuación de vildly". De hecho, el área de un rectángulo es una función lineal de la obe longitud del lado y la aproximación es exactamente cierto en este caso. Este es el mismo como "la tasa de cambio constante", o, equivalentemente, "la aceleración es cero".

Ahora considere lo que significa para decir lo mucho que el área de un rectángulo cambia si cambiamos uno de los lados un poco. El área inicial de ser $A_0$ y el aumento de un lado a otro por $\delta b $ el área aumenta en un pequeño rectángulo $\delta b\cdot l $. Compare el total de la superficie después de que el aumento de la $A (b+\delta b)=A_0+ \delta b\cdot l=A (b)+\delta b \cdot \frac {dA}{db}(b) $ a las fórmulas de arriba y tal vez usted será convencido de que la definición de la tasa de cambio como una relación es correcta. La aproximación es exactamente cierto aquí porque el área es una función lineal como se discutió anteriormente.

Answer 2

Buena pregunta. Se empieza bien. Creo entender por qué el rectángulo ejemplo rompecabezas.

El cálculo de derivadas se inventó para el estudio de las tasas. Entender claramente que cuando la tasa es de velocidad, es decir, la tasa de cambio de la distancia con respecto al tiempo - usted tiene que "divide $dy$ $dx$" para obtener la instantánea de la tasa, debido a que el valor de la tasa depende de $x$.

Pero cuando la velocidad de $v$ es constante, no necesita de cálculo. La relación entre el cambio en la distancia del tiempo transcurrido es la constante de velocidad. No hay necesidad de preocuparse por el límite cuando el intervalo de tiempo es pequeño, no hay necesidad de dividir por el intervalo de tiempo. En el tiempo $t$ siempre cubrir la distancia de $vt$.

Si usted mira un rectángulo con un lado de longitud $a$ fijo y pensar sobre el área como una función de la segunda cara, a continuación, en el hecho de que la tasa a la cual el área de los cambios en la constante, como una velocidad uniforme. Un cambio de $h$ unidades en el otro lado de la longitud de las causas de la zona para cambiar por $ah$ unidades cuadradas, por lo que la tasa de cambio es la constante de $a$. Así, para este tipo particular de cambio que usted realmente no necesita para pensar acerca de lo que sucede cuando el cambio de $h$ es pequeña. Usted no necesita de cálculo y que son esencialmente razón cuando dices

Para mí, esto parece la forma correcta de calcular la tasa de cambio En ESTA SITUACIÓN PARTICULAR EN un área de un rectángulo con un lado fija como la otra variable, ya que en comparación a la división dA por db.

Cada vez que una cierta cantidad $q$ depende de otra cantidad $r$ se puede calcular el cambio en $q$ al $r$ cambios $h$:$q(r+h) - q(r)$. A continuación, el promedio de la tasa de cambio durante ese pequeño intervalo es $$ \frac{q(r+h) - p(r)}{h} . $$ Si la fracción que pasa a ser una constante a lo $c$ independiente de $h$, entonces usted no necesita de cálculo: $$ q(r+h) - p(r) = ch $$ y $c$ es la tasa de interés.

Espero haber abordado esta:

Así que, ¿por qué es que definimos la tasa de cambio EXACTAMENTE el mismo para cada función?

(Hay algunos problemas en el cálculo de vocabulario, porque son nuevos en el tema. Pronto tendrás que ser más cuidadoso al usar "$dx$" para el cambio en $x$ .)

Answer 3

La multiplicación y la división no son tan diferentes como parecen pensar que está tan estrechamente interrelacionados que realmente no hay ninguna diferencia entre ellos. La objeción de uso de la división en un problema de multiplicación es como oponerse al uso de la resta para resolver la ecuación de $x + 7 = 10$.

El razonamiento que usted presente diría que en cada situación, la tasa instantánea de cambio de cualquier cantidad siempre es cero. No importa en qué situación se considera, usted siempre terminan con algo de la forma $dy = f(x)dx$. Como $dx$ es llevado a cero, el lado derecho tiende a cero.

Lo importante a entender es que esto es una tontería. Cuando se considera un rectángulo de área como uno de los lados de los cambios, ciertamente, nosotros creemos que la zona está cambiando. Si la tasa de cambio es $0$, la zona no está cambiando - eso es parte de lo que se entiende por "tasa de cambio". La idea clave es cómo las variaciones de la superficie como en comparación con el cambio en la longitud lateral.

Por ejemplo: decir $a = 2$. $A = ab = 2b$. $dA = 2db$, por el razonamiento que has utilizado. Esto nos dice que cuando $b$ cambios por una pequeña cantidad, $A$ cambios por el doble de esa cantidad - lo $A$ está cambiando dos veces tan rápido como $b$. Queremos ser capaces de decir, entonces, que la tasa de cambio de $A$ es el doble que la de $b$. Para formalizar esto, queremos decir algo en la línea de "$A$ cambios por dos unidades por cada unidad de variación en $b$". Tenga en cuenta que la palabra "por" significa que usted está usando la división - si he a $8$ trozos de pastel y $4$ de la gente, hay $8 / 4 = 2$ trozos de pastel por persona. Así que creo que de $dA$ "el número de unidades de cambio en $A$" e $db$ "el número de unidades de cambio en $b$". Entonces lo que queremos es "el número de unidades de cambio en $A$ por cada unidad de variación en $b$"; que significa exactamente $dA/db$.

Answer 4

Creo que tu confusión viene del desconocimiento de lo que queremos decir cuando hablamos de "tasa". Una tasa es una razón entre dos cantidades. Esta relación se describe cómo esas dos cantidades están relacionadas.

La velocidad de $\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}$ es la relación entre el desplazamiento y el tiempo-me dice (aproximadamente) ¿cuánto desplazamiento ($y$) cambios por cada unidad de cambio en el tiempo ($x$).

De la misma manera, no es correcto pensar acerca de la tasa a la cual las variaciones de la superficie como sólo el cambio absoluto en la zona, como haces en tu post. Implícito en el discurso acerca de la tasa de cambio de la zona es que nos están tomando el ritmo con respecto al cambio en algo más (por ejemplo, ancho).

Answer 5

tenemos %#% $ #% si este límite existe