¿$ A \in M_{m \times n}(\mathbb{R})$, Se $\ker(A)$ relaciona $\ker(A^T) $?

Question

Para $ A \in M_{m \times n}(\mathbb{R})$, no $\ker(A)$ se refieren a $\ker(A^T) $? Y si es así, ¿cuál sería la conexión? No me imagino que hay alguna, sin condiciones adicionales en $A$ (como la simetría o algo), pero no estoy seguro.

Para proporcionar un contexto, estoy tratando de mostrar que si $Ax = 0_m $ tiene una única solución a $x \in \mathbb{R^n}$, es decir,$\ker(A) = \{0_n\}$, entonces la matriz $A^TA$ es invertible. Razoné que $Ax=0_m$ tener una única solución no necesariamente rendimiento $\ker(A^TA) = \{0_n\}$ $\ker(A^T)$ podría no ser $ \{0_m\}$. Sin embargo, si $\ker(A) = \{0_n\}$ implica $\ker(A^T) = \{0_m\}$, entonces la solución debe seguir.

Gracias de antemano,

Brandon

Answer 1

Supongamos que $x \in \mathbf{R}^n$ y $A^T A x = 0$. \begin{align*} 0 &= \langle A^T Ax, x \rangle \\ &= \langle Ax, Ax \rangle, \end{Alinear *} que implica que el $Ax = 0$, lo que implica que el $x = 0$ (porque $Ker(A) = \{0\}$). Así hemos demostrado que $Ker(A^T A) = \{0\}$, lo que implica que el $A^TA$ de la matriz cuadrada es inversible.

Answer 2

$\text{ker}(A)$ y $\text{ker}(A^T)$ no están relacionados en general. Sin embargo, $\text{ker}(A)$ $\text{ker}(A^TA)$ do.

Lema: $\text{ker}(A)=\text{ker}(A^TA)$.

Prueba: Es obvio que $\text{ker}(A)\subset\text{ker}(A^TA)$.

Por el contrario que $x\in \text{ker}(A^TA)$, es decir, $A^TAx=0$. Premultiplica con $x^T$ para conseguir $$ x ^ T\underbrace {A ^ impuestos} _ {= 0} = (Ax, Ax) = \ | Ax\ | ^ Ax 2 = 0\qquad\Rightarrow\quad = 0 \qquad\Rightarrow\quad x\in \text{ker}(A). $$ Da $\text{ker}(A^TA)\subset\text{ker}(A)$, por lo tanto, la igualdad.

Answer 3

Los rangos de $A$ $A^T$ son los mismos e igual al rango de $A^TA$ (esto se puede ver con la descomposición de valor singular). Por lo tanto, si $m \leq n$ y es de $A$ $m \times n$ y % total fila $m$, entonces el $A^TA$ invertible. Sin embargo, si $m < n$ y $AA^T$ no puede ser inversible, es $n \times n$ y tiene rango $m$ donde $m < n$.

Answer 4

Un hecho muy útil para tener en cuenta es que si $A \in M_{m \times n}(\mathbb R)$ y $A$ y $A^TA$ tienen el mismo espacio nulo:\begin{align*} & Ax = 0 \\ \implies & A^T A x = 0 \\ \implies & x^T A^T A x = 0 \\ \implies & \| Ax \|^2 = 0 \\ \implies & Ax = 0. \end{align*}

Así, si el espacio nulo de $A$ es trivial, entonces el espacio nulo de $A^T A$ es trivial, así $A^T A$ es invertible.

Answer 5

Usted puede estar interesado en los siguientes, familiar a partir de la teoría de espacios de Hilbert operadores, resultado: si $A:H \to H$ es de algún operador acotado en el espacio de Hilbert y $A^*$ denota su adjunto, a continuación, usted tiene la descomposición $\ker(A) \oplus \overline{im(A^*)}=H$. Si el espacio es finito dimensionales, a continuación, $A$ puede ser visto como una matriz (con respecto a algunas de las ortogonal) y si todas las entradas son reales, entonces $A^*$ se convierte en la transposición $A^*=A^T$ por lo que la anterior descomposición dice lo $\ker(A) \oplus \overline{im(A^T)}=H$. Así que en este caso $\ker(A)$ se refiere más bien a la imagen de $A^T$