¿POR qué el "orden" de una ecuación diferencial = número de elementos de "almacenamiento de energía" en un sistema?

Question

OK. en todos los cursos de ingeniería, llega un punto en el que se introducen a la teoría de sistemas y modelado de sistemas (por ejemplo. a través de la respuesta al impulso) y, a continuación, la transformada de Laplace.

El enfoque moderno de esto incluye el único fin de "estado" espacio de representación de los sistemas, en donde, como una estrategia para la búsqueda de las "variables de estado", se recomienda que el almacenamiento de energía elementos de ser señalados como las variables de estado $x$$\dot x$.

Por arte de magia, todos estos cursos SÓLO se alude al hecho de que "el fin" de una ecuación diferencial que describe el sistema de interés se convierte en "el orden" del polinomio en el de Laplace s-plane, que todos (la magia de bits) para que coincida con EL NÚMERO DE ELEMENTOS de ALMACENAMIENTO de ENERGÍA en el sistema de interés.

Pregunta: ¿qué es el fenómeno por el cual este se mantiene? [a un lado, miré un poco en el Lagrangiano marco de la física w del teorema de Noether, etc (que para ser sincero yo nunca aprendí a todos en la escuela) pero que no se parecen cubrir esta curiosa simetría o de hecho, respecto de almacenamiento de energía].

La conclusión que parece filtro de ingeniería de sistemas cursos es que cada vez que un derivado está involucrado en un sistema físico de la física, que es indicativo de un "almacenamiento de energía"! [mi reacción: lo extraño...!]

¿Alguien puede arrojar luz por favor?

Answer 1

Me encantaría ver más elaboradas que las respuestas a esta, pero en general la idea es intuitivo. Las resistencias son lineales y sólo la disipación de energía. Los inductores y los capacitores no son lineales y almacenar magnético y la energía eléctrica, respectivamente. Su constitutiva de las relaciones son los siguientes:

Inductor: $v = L\frac{di}{dt}$ Condensador: $i = C\frac{dv}{dt}$

Es sólo cuando usted tiene estos dos últimos elementos que se han de derivados en las ecuaciones debido a su constitutiva de las relaciones. Por esta razón, tiene sentido que (derivados) => (almacenamiento de energía de los elementos).

La razón por la que el orden determina el número de elementos de almacenamiento de energía es más matemático. Imagina que tienes una serie circuito RLC (dos de almacenamiento de energía de los elementos de L y C), y escribir el bucle de la ecuación para el voltaje desciende en términos de la corriente de lazo.

$0 = Ri + \frac{1}{C}\int i dt + L\frac{di}{dt}$

Con el fin de convertir esta integro-diferencial de la ecuación en una ecuación diferencial en la actual, que normalmente utilizan de Laplace de la teoría o, simplemente, tomar la derivada con respecto al tiempo de ambos lados. A continuación,

$0 = R\frac{di}{dt} + \frac{i}{C} + L\frac{d^2i}{dt^2}$

y se puede ver, que tuvo que tomar de muchos derivados como la que usted necesita para eliminar las integrales. En la final, su pedido es de 2 para este ejemplo en particular, que es exactamente el número de elementos de almacenamiento de energía. Pero esta es una idea general, el número de derivados de tomar eventualmente conjunto de cosas que el orden de la ecuación es el número de elementos de almacenamiento de energía.

EDITAR: Además, si se toma la transformada de Laplace de la ecuación anterior, se puede ver que la potencia máxima se $s^2$, por lo que su pedido es de 2. De manera más general, el orden de la ecuación algebraica después de hacer la transformada de Laplace también será igual a la orden de su dominio de tiempo de la ecuación diferencial, y por lo tanto el número de elementos de almacenamiento de energía.

Answer 2

Esta pregunta ha sido marinado en mi mente por algún tiempo desde que pedimos aquí, y ver cómo el respetado de la comunidad de este sitio aún no ha contestado a esta cabeza en la impresionante manera he visto otras respuestas, voy a compartir mi "respuesta" como lo que he sido capaz de encontrar por mi cuenta. [EDITAR: esta respuesta ha sido editada de manera más directa responde correctamente la pregunta.]

En primer lugar, la pregunta es razonable. He mirado en muchos diferentes ingeniería de textos y que todos , literalmente, implica que el Almacenamiento de Energía y las variables de Estado son de hecho "relativa" o la misma cosa, sólo que nadie se ha parado a preguntarse "por qué" o "cómo" esta es mágicamente conectado al consejo de la ecuación diferencial. Aquí es una cita directa de la Prof. BC Kuo texto del Control Automático de los Sistemas de edición de 1982: "La razón de esta elección [de las variables de estado] es debido a que las variables de estado están directamente relacionados con el almacenamiento de energía elementos de un sistema". Véase también el Profesor Erik Cheever página (http://lpsa.swarthmore.edu/Representations/SysRepAll.html). También el orden de la ecuación diferencial que describe un sistema y el número de almacenamiento de energía "dispositivos" en un sistema es EL MISMO.

Arriba, donde me dijo que "en cualquier momento un derivado está involucrado en un sistema físico de física (es decir. es modelo matemático), que es indicativo de un "almacenamiento de energía" pasando" es, literalmente, lo que está sucediendo! Por ejemplo. sistemas textos recomiendan el método directo de la descomposición de funciones de transferencia en el estado de las ecuaciones (cf infra). En este método, en el s-plano, el numerador y el denominador de la función de transferencia se multiplica por X(s), una dummy variable de estado. Entonces, el numerador y el denominador se dividen por $s^n$ (donde n es el orden más alto de derivados). con la simple manipulación algebraica, ahora que han expresado la función de transferencia en términos de integradores ${s^-}^1$, es decir. las variables de estado de ie. la energía de los elementos de almacenamiento. (A partir de la ecuación diferencial para el almacenamiento de energía de los elementos.)

RESPUESTA:

La razón de la orden más alta de las derivadas de las ecuaciones diferenciales que describen un sistema es igual al número de elementos de almacenamiento de energía es debido a que los sistemas con "almacenamiento de energía" tiene "memoria", es decir,. sus respuestas a una entrada dependen no sólo el valor actual de la entrada, sino también en el pasado de la historia de los insumos. Por lo tanto, su comportamiento no es simple, pero "dinámica", o, tienen un estado dependiente de la salida. La misma entrada ¿ no conducen al mismo resultado cada vez que b/c de esta "memoria" del efecto.

Resulta que este "efecto de memoria" es el más abstracto, agua destilada, y sorprendentemente correcta, matemática, alto nivel de definición de la propiedad que los físicos llaman "energía" que es tomado como un "dado" en la física. La energía es el estado.

Vamos a ver que los ingenieros de sistemas modelo de estado (o de energía) como simplemente la salida de los integradores de eg $\int y dx$. Tiene sentido..., la forma más sencilla de preservar el pasado de cualquier variable en una forma compacta, es la SUMA de la misma, es decir. integrar wrt tiempo, así cómo contables resumen pasado flujos de efectivo en una cuenta con un sum ("balance"), como la forma de los contadores de cartas en el blackjack no es necesario memorizar todo el pasado de la secuencia de juego de cartas, pero puede usar una simple suma a través de la "hi-lo" método de una Profe Thorp (utilizando los valores de tan solo +1, 0, -1) para llegar a los mismos resultados!. Integración = estado = de almacenamiento de energía. Estos dos últimos son los ejemplos de la teoría de la información "energía".

(Aparte: y al igual que los físicos están familiarizados con el hecho de que el cambio en la energía potencial alrededor de un bucle cerrado = 0; asimismo, la Profesora Thorp demostrado que el "estado"/energía de la hi-lo de la tarjeta método de recuento también devuelve el mismo valor que mantenga sumar a través de la cubierta restante no utilizada de las tarjetas y de vuelta a la actualidad de la mano a través de las tarjetas que usa.)

Dado que los sistemas internos de almacenamiento de energía son dinámicos y su salida/respuesta no es simplemente una función de la entrada actual, sino también del estado/de la energía, este es el más directamente modelados por ecuaciones diferenciales debido a que es más elemental definición, un derivado, $\frac {dy}{dx}$ no sólo depende de la presente y(t) y x(t), sino también su valor en un primero momento infinitesimal, x(t-dt) y y(t-dt) como todo el mundo sabe. Por ejemplo. si ${dy \over dt} = x(t)$, sabiendo que x(t=presente) NO es suficiente para indicar que el valor de y(t).

(En la versión anterior de mi respuesta estaba persiguiendo totalmente EQUIVOCADO de la línea de pensamiento de la cual yo estaba bajo la impresión de que una nueva (la cuarta) de la ley de la termodinámica estaba esperando a ser descubierto, donde el orden de la tasa de cambio de trabajo aplicado (de entrada) a un sistema aislado debe ser igual al número de modos de puestos de almacenamiento de energía dentro del sistema). Esta es INCORRECTO b/c de la ley de la diferenciación NO afecta a la variable de entrada en todos, pero el más alto orden de la derivada aparece como una entrada sólo a la primera de las encadenadas/catenated de almacenamiento de energía de los elementos).

El sólo hyper generalización se puede hacer (como en el de una "ley de la termodinámica" punto de vista (lol) ), es que la respuesta natural de un sistema será una suma de un número de exponenciales que coincide con el número de elementos de almacenamiento de energía.

1. El término "Sistemas" son los ingenieros de vista de la física, estrictamente modelados en términos de la conducción de entrada (causa) conduce a tal y tal resultado (efecto). El sistema que se estudia en el aislamiento a otros elementos del medio ambiente por medio de agrupar Tiempo Lineal Invariante elementos. S. J. Mason (del Albañil de la señal de flujo gráfico) introdujo vinculado diagramas de causa y efecto en su de Septiembre de 1953 papel en los Procedimientos de IRA que son la base de este engrg campo hoy en día.