¿Cómo se comportan las clases de Chern bajo sumas conectadas?

Question

A menudo veo a la gente hablar sobre las clases de Chern de colectores como $\mathbb{CP}^2 \# \mathbb{CP}^2$ o $\mathbb{CP}^2\#\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}^2}$ donde $\#$ denota conectado suma y la barra indica la orientación opuesta.

Sé lo de las clases de Chern son, y sé que si un vector complejo paquete de $E$ divisiones como $E_1 \oplus E_2$, luego $$c_k(E) = \sum_{i + j = k} c_i(E_1)\wedge c_j(E_2).$$ Sin embargo, nunca he visto a una fórmula relativa de las clases de Chern (la tangente paquete de) un complejo colector de $M \# N$ y los de $M$$N$. Así que mis preguntas son:

1) ¿esta fórmula existe, y donde puedo leer sobre esto?

2) ¿Cómo calcular las clases de Chern de conectado sumas de $\mathbb{CP}^2$$\overline{\mathbb{CP}^2}$?

Por el momento, estoy más interesado en la 2), pero la información es muy bienvenida. Gracias!

Answer 1

Para la pregunta 2, se puede encontrar lo siguiente en geometría compleja de Daniel Huybrechts (p.98 - 102).

La suma conectada $Y :=\mathbb {CP}^2 \# \overline{\mathbb{CP}^2}$ es diffeomorphic a la voladura de $X:=\mathbb {CP}^2$ en un punto. Llame a $E$ el divisor excepcional y $\sigma : Y\to X$ el mapa de Blow-up, entonces

$$K_Y = \sigma^* K_X \otimes [E] \Rightarrow c_1(Y) = \sigma^* c_1(X) - c_1([E])$$