Pregunta fácil independencia lineal

Question

Tengo estos vectores $B = \{u, v, w\}$ con

$$u = (-1, 1, -1),\, v = (19, 10, -9),\, w = (-1, x, y)$$

Y quiero comprobar que estos vectores son linealmente independientes.

No tengo ningún problema para demostrar que tres vectores sin variables desconocidas son linealmente independientes pero tengo dificultades en esto que tengo dos variables desconocidas $(x, y)$.

Me parece que es de $\det(B)$ $-28x - 29y -1$ pero no sé cómo esto ayuda.

La pregunta es probar que B es una base en R3

PS. en álgebra Linear, no disparar!

Answer 1

Buena pregunta. De hecho, los vectores son linealmente independientes, siempre que el determinante $-28x -29y -1$ no es igual a cero. Por tanto, la respuesta depende de a$x$$y$.

Cómo sé que esto: El determinante puede ser pensado como una función de la $m$ vectores en $m$-dim l espacio, en el que caso de que una de las propiedades que caracteriza es que si una de sus entradas es una combinación lineal de todos o algunos de los otros, entonces la función de evaluar a cero. Además, la función de evaluar a cero sólo en este caso. Por lo tanto, un conjunto de $m$ vectores en un $m$-dim l espacio serán linealmente independientes si y sólo si su determinante es distinto de cero. Consulte esta sección del artículo de wiki para obtener más detalles, específicamente donde dice que las propiedades 1, 7, y 8 caracterizar completamente el factor determinante.

De regreso a su pregunta específica. Conjunto $$-28x - 29y - 1 = 0$$ and rewrite it as $$y = - \frac{28}{29}x -\frac{1}{29}.$$ Your three vectors are linearly independent when $x,y$ lie away from this line, which you can easily plot now that it's written in slope-intercept form. And since you want to know when these vectors form a basis for $V := \mathbb{R}^3$, and since you know that any linearly independent set of 3 vectors in $V$ forms a basis, you know that these vectors form a basis when $x,$ y mentira lejos de la línea de arriba.

Espero que ayude.