Estoy leyendo un papel en donde el autor apela a Hensel del lema, pero no me queda claro del todo cómo está destinado a ser aplicado (o, para el caso, la versión!). Mi álgebra conmutativa de fondo, desafortunadamente, no es tan buena como me gustaría, y no puedo encontrar las referencias entre el viejo y simple Hensel del lema para $p$-adics y Henselian anillos.
La configuración de este. Tengo un split de la secuencia exacta de (unital, y de otra manera agradable) anillos $$ Un \stackrel{r} {\,} B \a 0 $$ donde $N = ker(r)$ es un nil-ideal, y $s$ es una sección de $r$. Deje $\Sigma$ ser un conjunto de números primos (en el extremo que probablemente va a ser una sola prime), $\mathbb{Z}_\Sigma = \{a/b\in\mathbb{Q} \mid p\not| b,\ \forall p\in\Sigma\}$ $R_\Sigma = R\otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Z}_\Sigma$ $R$ un anillo (sim. por un ideal). Entonces tenemos $N_\Sigma$ cero-ideal, $r_\Sigma$ es aún. Deje $U_\Sigma = r_\Sigma^{-1}(1) \subset A_\Sigma$. También tenemos que $a\in A_\Sigma$ es una unidad si y sólo si $r_\Sigma(a)$ es una unidad.
Ahora viene el bit no entiendo.
La autora afirma, utilizando Hensel, que dada una unidad de $n\in \mathbb{Z}_\Sigma^\times$ $n\gt 0$ y algunos $a\in U_\Sigma$, hay un único $b\in U_\Sigma$ tal que $b^n = a$.
No puedo pensar en varios puntos relevantes, pero que no se puede conectar a una prueba en mi mente.
Como $N$ es un nil-ideal, por lo $A$ debe ser completa en el $N$-ádico de la topología.
Desde $a\in U_\Sigma$, estoy levantando la solución de $1$ $x^n - 1=0$ $B_\Sigma$a través de las distintas proyecciones $A_\Sigma/N_\Sigma^{k+1} \to A_\Sigma/N_\Sigma^k$.
Los anillos de $A$ $B$ son bastante agradable ($B$ es isomorfo a $\mathbb{Z}^m$, por ejemplo, sino $A$ puede ser más complicado), por lo que probablemente puede suponer que están Noetherian...
Es la prueba que hay debajo de mi nariz? O es un poco más sutil?
