Dejemos que $$A= 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdots 1002!$$ $$B= 1004!\cdot 1005! \cdots 2006!$$
Demostrar que $2AB$ es cuadrado. Ayuda chicos, lo he intentado, de verdad, pero no he podido.
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¿Demasiados anuncios?
amir bahadory
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Con ayuda del comentario anterior tenemos: \begin{align} 2AB &= 2(1!×2!×...×1002!)(1004!×1005!×...×2006!) \\ &= 2(2^{501}×1×2×...×501)(2^{500}×502×503×...×1003)((1!)^2(2!)^2 ...(1003!)×(1005!)^2 ...(2005!)^2 \\ &= 2^{1002}(1!)^2 ...(1003!)(1003!)(1005!)^2 (1006)^2 ...(2005)^2 \\ &= 2^{1002} ... \end{align} cuadrado.
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$$\begin{align} 1! \times 2! &= 2 \times (1!)^2 \times 1,\\ 3! \times 4! &= 2 \times (3!)^2 \times 2,\\ &\;\;\vdots\\ 1004! &= 2 \times (1003)! \times 502\\ 1005! \times 1006! &= 2 \times (1005!)^2 \times 503\\ &\;\;\vdots\\ 2005! \times 2006! &= 2 \times (2005!)^2 \times 1003 \end{align} $$