¿Sabemos que para cualquier matriz $A\in GL_n(\mathbb C)$, y cualquier número natural $m$ allí existe un % de la matriz $B\in GL_n(\mathbb C)$tal que $B^m=A$, podemos extender esto a cualquier campo algebraico cerrado con características positivas?
Respuesta
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La verdad es que no. Característica $p$, considerar el % de matriz $A$con todos los valores propios $1$. Asumir que $B^p=A$. Entonces los valores propios de $B$ son todas las $1$ ($x^p - 1=(x-1)^p$), y así $B-I$ es nilpotente. Supongamos ahora que $\dim B \le p$. Entonces $(B-I)^p=0$. Sin embargo, $(B-I)^p= B^p- I^p = A-I$ y así $A=I$. Por lo tanto, una matriz Unipotencial no identidad y de tamaño máximo $p$ no tiene raíces de $p$-th.
