Lo que vamos a definir "$(a,b)$" a ser como un conjunto, lo que realmente queremos es la siguiente "definición de la propiedad":
$(a,b) = (c,d)$ si y sólo si $a=c$$b=d$.
Hay muchas maneras de lograr esto, pero esto es lo que realmente queremos lograr; una vez que logramos esto a través de algunos definición, queremos evitar el uso de las "tripas" de la definición y atenerse exclusivamente a la definición de la propiedad. (Similar a la de los puntos expuestos en esta respuesta y comentario acerca de cómo se representan los números reales como conjuntos).
Una manera de lograr esto "la definición de la propiedad" es a través de la Kuratowski definición, mediante la definición de
$$(a,b) = \Bigl\{ \{a\},\{a,b\}\Bigr\}.$$
Podemos demostrar que esto es un juego, y que este conjunto tiene la propiedad que desea.
Hay otras maneras de lograr el mismo resultado; por ejemplo, Wiener propuso
$$(a,b) = \Bigl\{ \bigl\{ \{a\},\emptyset\bigr\}, \bigl\{\{b\}\bigr\}\Bigr\},$$
que también tiene la "definición de la propiedad".
El problema con tu propuesta es que se hace no tiene la definición de la propiedad que queremos para los pares ordenados: por ejemplo, $\emptyset\neq\{\emptyset\}$, por lo que queremos $(\emptyset,\{\emptyset\}) \neq (\{\emptyset\},\emptyset)$. Pero en su propuesta, tenemos:
$$\begin{align*}
(\emptyset,\{\emptyset\}) &= \Bigl\{ \{\emptyset\}, \bigl\{\{\emptyset\}\bigr\}, \bigl\{ \emptyset, \{\emptyset\}\bigr\}\Bigr\},\\
(\{\emptyset\},\emptyset) &= \Bigl\{ \bigl\{ \{\emptyset\}\bigr\}, \{\emptyset\}, \bigl\{ \{\emptyset\},\emptyset\bigr\}\Bigr\};
\end{align*}$$
de modo que $(\emptyset,\{\emptyset\}) = (\{\emptyset\},\emptyset)$.
Por lo que la propuesta, mientras que una perfectamente buena definición de un conjunto, no lograr el objetivo final de definir el par ordenado, por lo que no debería ser la definición de "par ordenado".
La prueba de que el Kuratowski definición tiene la "definición de la propiedad".
Si $a=c$$b=d$, luego
$$(a,b) = \Bigl\{ \{a\}, \{a,b\}\Bigr\} = \Bigl\{ \{c\},\{c,d\}\Bigr\} = (c,d).$$
Supongamos por el contrario que $(a,b)=(c,d)$. Entonces
$\bigcap(a,b) = \bigcap(c,d)$. Desde
$$\bigcap(a,b) = \bigcap\Bigl\{ \{a\},\{a,b\}\Bigr\} = \{a\}\cap\{a,b\} = \{a\}$$
y
$$\bigcap(c,d) = \bigcap\Bigr\{ \{c\}, \{c,d\}\Bigr\} = \{c\}\cap\{c,d\} = \{c\},$$
llegamos a la conclusión de que $a=c$.
Si $b=a$,$(a,b) = \{\{a\}\} = (c,d) = \{\{c\},\{c,d\}\}$. Por lo tanto, $\{c,d\} \in\{\;\{a\}\;\}$, lo $d\in\{a\}$, por lo tanto $d=a=b$ y llegamos a la conclusión de $d=b$, como se desee. Simétricamente, si $c=d$,$\{a,b\}\in(a,b)=(c,d) = \{\;\{c\}\;\}$, lo $\{a,b\}=\{c\}$, por lo tanto $b=c=d$ y de nuevo a la conclusión de $d=b$ como se desee.
Si $b\neq a$$c\neq d$,$\bigcup(a,b)-\bigcap(a,b) = \bigcup(c,d)-\bigcap(c,d)$. Desde
$$\bigcup(a,b)-\bigcap(a,b) = \bigcup\Bigl\{\{a\},\{a,b\}\Bigr\} - \{a\} = \Bigl( \{a\}\cup \{a,b\}\Bigr)-\{a\} = \{a,b\}-\{a\} = \{b\}$$
y
$$\bigcup(c,d)-\bigcap(c,d) = \bigcup\Bigl\{\{c\},\{c,d\}\Bigr\} - \{c\} = \Bigl(\{c\}\cup \{c,d\}\Bigr)-\{c\} = \{c,d\}-\{c\} = \{d\}$$
(donde hemos usado que $a\neq b$ a la conclusión de que la $\{a,b\}-\{a\}=\{b\}$ y que hemos utilizado a lo $c\neq d$ a la conclusión de ${c,d}-{c}={d}$), luego tenemos a $\{b\}=\{d\}$, por lo tanto $b=d$, de nuevo si lo desea.
Por lo tanto, si $(a,b)=(c,d)$,$a=c$$b=d$.
Frente a los comentarios añadidos a la pregunta.
Esta definición es parte de una forma de intentar definir muchas de las cosas que utilizamos en matemáticas sobre la base de una axiomática de la teoría; en este caso, partimos de la Teoría de conjuntos Axiomática, en donde las nociones que tenemos (si estamos trabajando en Zermelo-Fraenkel de la Teoría de conjuntos) son "set" y "es un elemento de", junto con los axiomas que nos dice de las propiedades de los conjuntos y de las cosas que podemos hacer con conjuntos.
Queremos tener algo que funcione como lo que nosotros conocemos como "el par ordenado"; pero todos tenemos que trabajar con conjuntos. Así que tenemos que encontrar una manera de construir un conjunto que tiene las propiedades que queremos para el par ordenado.
Para una metáfora: el par ordenado es como un coche, sabemos cómo manejar. Pero para realmente tener un coche, no necesita ser un motor y la gasolina, y el motor tiene que trabajar. Estamos tratando de construir ese motor, por lo que podemos posterior de la unidad.
Así que esto no es la notación, esta es una definición de lo que el par ordenado es en la teoría de conjuntos. Estamos definiendo un objeto, al que llamamos "$(a,b)$", a ser el conjunto dado. No se trata meramente de cómo estamos escribiendo el par ordenado, es lo que el par ordenado es si usted está interesado en el hecho de ver que el motor del coche de trabajo. Sabemos lo que queremos "par ordenado" para que se comporte igual, pero tenemos que construir un objeto que se comporta de esa manera. Esta es una manera de definir un objeto que hace comportarse de esa manera.
No hay "dos notaciones" aquí. Podemos definir "el par ordenado con el primer componente $a$, y la segunda componente $b$" el conjunto
$$\bigl\{ \{a\}, \{a,b\}\bigr\},$$
(que uno puede demostrar que es de hecho un conjunto mediante los Axiomas de la Teoría de conjuntos, si $a$ $b$ ya están en la teoría).
A continuación, vamos a comprobar que "el par ordenado con el primer componente $a$, y la segunda componente $b$" es igual a "el par ordenado con el primer componente $c$, y la segunda componente $d$" si y sólo si $a=c$$b=d$.
A continuación, podemos abreviar "el par ordenado con el primer componente $a$, y la segunda componente $b$" por escrito "$(a,b)$" (o a veces "$\langle a,b\rangle$").
"$(a,b)"$ es la notación. El otro lado es la definición de este conjunto.
La definición es la forma que es porque funciona; eso es realmente todo lo que nos interesa. De hecho, nos olvidamos de la definición casi tan pronto como nos sea posible, y simplemente utilizar el $(a,b)$ y la "definición de la propiedad." Podemos hacer eso, porque sabemos que "bajo el capó" en realidad hay un motor que hace lo que nosotros necesitamos, incluso si no lo vemos de trabajo mientras estamos conduciendo el coche.
Así, sólo hay un poco de notación, y es "$(a,b)$". El otro lado es la definición de lo que la notación es en realidad.
-
La "notación" no "decir" el par ordenado es lo que usted piensa que es. Lo que estamos haciendo es definir lo que es un par ordenado es, en teoría, donde lo único que tenemos son conjuntos y los axiomas de la teoría de conjuntos. Debido a que los conjuntos no respetan el orden, no podemos depender sólo de cómo podemos escribir algo; con el fin de ser capaz de definir un par ordenado debemos dar puramente conjunto de la teoría de la definición que alcanza el objetivo que queremos. Kuratowski la definición de un par ordenado $(a,b)$ a ser el conjunto dado por $\bigl\{\{a\},\{a,b\}\bigr\}$ logra este objetivo, en el que el objeto definido tiene precisamente la propiedad que desea una "ordenó-par-lo-que-puede-en realidad-ser" para tener. Desde este conjunto tiene esa propiedad, podemos definir que el conjunto a ser lo que el par ordenado "realmente es". Pero no nos cuida realmente sobre lo que es un par ordenado "de verdad", que acaba de atención acerca de su deseada "la definición de la propiedad".
En orden para que el coche funcione, tiene que ser un motor en algún lugar; pero una vez que existe un motor y el coche funciona, no es necesario ver el motor de trabajo con el fin de conducir el coche. El mismo con el par ordenado: para nosotros para tener un "par ordenado" en la teoría de conjuntos, tenemos que ser capaces de construir de alguna manera con los juegos. Una vez que hemos logrado hacer eso, no necesitamos ver el conjunto, podemos utilizar el hecho de que hay un conjunto que logra nuestro objetivo deseado.
Sí, dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Por lo $\bigl\{\{a\},\{a,b\}\bigr\} = \bigl\{ \{a,b\}, \{a\}\bigr\}$. Esto no importa. Lo que importa es que $\bigl\{ \{a\}, \{a,b\}\bigr\} = \bigl\{ \{c\},\{c,d\}\bigr\}$ si y sólo si $a=c$$b=d$, porque eso es lo que estamos buscando. La definición de par ordenado por Kuratowski está específicamente diseñado para que el resultado final "codifica" un orden y distingue entre el "primer componente" y el "segundo componente" de $(a,b)$. La definición de la realidad se logra esto, como he demostrado más arriba.
No hay ningún problema con "elementos duplicados". Es sólo que el conjunto $\bigl\{\{a\},\{a\}\bigr\}$ es igual al conjunto $\bigl\{\{a\}\bigr\}$ por el Axioma de Extensión, que dice que dos conjuntos de $A$ $B$ son iguales si y sólo si para cada $x$, $x\in A\leftrightarrow x\in B$. El par ordenado $(a,a)$, como un conjunto, es un conjunto que puede ser escrito como
$$\bigl\{ \{a\},\{a,a\}\bigr\} \text{ or as }\bigl\{\{a\},\{a\}\bigr\}\text{ or as }\bigl\{ \{a\}\bigr\}.$$
No hay ningún problema con esto, ya que tiene la propiedad de que la $(c,d)$ es igual a $\bigl\{ \{a\}\bigr\}$ si y sólo si $c=d=a$, que es exactamente lo que queremos.
De nuevo: el punto clave de esta definición es la única que satisface la propiedad
$\bigl\{ \{a\},\{a,b\}\bigr\} = \bigl\{ \{c\},\{c,d\}\bigr\}$ si y sólo si $a=c$$b=d$.
Una vez que tienen esta propiedad, podemos abreviar el conjunto de $\bigl\{\{a\},\{a,b\}\bigr\}$$(a,b)$, y simplemente el uso de la propiedad que aparece arriba.
4 votos
Lo importante aquí es que $(a,b) \neq (b,a)$ si $a \neq b$. En tu definición propuesta $(a,b) = \{\{a\},\{b\},\{a,b\}\} = (b,a)$ para todos los $a$ y $b$.
0 votos
Hmmm, la ignorancia es frustrante como el infierno. Así que olvidemos mi definición. Si solo pudiera formular correctamente mi pregunta, estoy seguro de que obtendría la respuesta que más me ayudó. Déjame reflexionar sobre lo que se ha dicho, intentaré reformular mi pregunta en un momento.
7 votos
No tiene nada que ver con la respuesta, pero tu $(a,b)$ no es el conjunto potencia. La pobre $\emptyset$ ha sido descuidada, algo fácil de hacer, ya que es tan pequeña.
0 votos
@Matthew, dado que ya di una respuesta (y no podré editarla pronto por un buen tiempo), por favor no edites completamente la pregunta. Si estás planeando hacer una pregunta completamente diferente, te sugiero que hagas una nueva.
0 votos
No editaré la publicación, no tenía planeado editar la publicación físicamente.
0 votos
Leyendo la respuesta de Arturo Magidin, parece que la convención es que $\{a, a\}$ significa $\{a\}$, porque como dijiste un conjunto no puede tener duplicados, entonces $\{\{a\}, \{a,b\}\}$ cuando $a=b$ se convierte en $\{\{a\}, \{a,a\}\} = \{\{a\}, \{a\}\} = \{\{a\}\}$.