forma cerrada $\int_0^{\infty}\log^n\left(\frac{e^x}{e^x-1}\right)dx$

Question

¿Cómo puedo encontrar un formulario cerrado para

ps

Answer 1

Sustituto $u = -\log{(1-e^{-x})}$, entonces después de un poco álgebra, usted encontrará que $dx = -du/(e^u-1)$ y la integral se convierte

$$\int_0^{\infty} du \frac{u^n e^{-u}}{1-e^{-u}}$$

Esta es un integral conocido que tiene un valor

$$\Gamma(n+1) \zeta(n+1)$$

Esto puede ser mostrado por Taylor ampliar el denominador a

$$\sum_{k=0}^{\infty} \int_0^{\infty} du \, u^n \, e^{-(k+1) u} = n!\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k+1)^{n+1}}$$

Debe señalarse en pasar esa restricción de $n$ a enteros no es necesario y $n$ puede ser una real, o incluso un número complejo que la integral converge.