Álgebra exterior de un paquete del vector

Question

Asociado a cualquier espacio vectorial $V$ es su exterior álgebra $\Lambda(V)$ a que la suma directa de descomposición $\Lambda(V) = \bigoplus_{i=0}^n\Lambda^i(V)$ donde $n = \dim V$.

Mi primera interacción con el concepto de un exterior álgebra fue en la geometría diferencial, donde uno define un $k$-forma sobre una superficie suave colector $M$ a ser un elemento de $\Gamma(M, \Lambda^k(T^*M))$. Aquí $\Lambda^k(T^*M)$ es un vector paquete; en particular, $\Lambda^k(T^*M) = \bigsqcup_{m\in M}\Lambda^k(T_m^*M)$. Un poco más lejos en mi geometría diferencial estudios, me encontré con el concepto de una $E$valores $k$ -, donde se $E$ es un vector paquete en la $M$, que se define como un elemento de $\Gamma(M, \Lambda^k(M)\otimes E)$.

Antes de ver la definición de una $E$valores de formulario (o realmente entender el concepto), yo estaba bajo la impresión de que el exterior de álgebra de $E$ aparecer en la definición. Ahora sé por qué no, pero he llegado a darme cuenta de que nunca he visto el exterior álgebra asociada a un vector paquete distinto de la cotangente del paquete. Por lo tanto, pido a la siguiente pregunta:

Hay situaciones en las que uno quiere/necesita considerar el exterior algebra de un vector paquete distinto de la cotangente del paquete?

Answer 1

Si $E$ es un paquete del vector complejo de rango $r$, su primer clase de Chern es igual a la primer clase de chern de su producto exterior: $$c_1(E)=c_1(\wedge ^r E)$ $

Esto es extremadamente útil ya que la clase de chern primer (y único) de un haz de línea es generalmente fácil de calcular.
Por ejemplo en una superficie de Riemann compacta o en una suave curva proyectiva, la línea paquete $L=\mathcal O(D)$ asociados a un divisor $D$ tiene su primer clase de chern igual al grado del divisor: $$c_1(L)=\text {deg} D $ $

Answer 2

Tractor paquetes son ciertas vector de paquetes que son más adecuados que el tensor de paquetes para la construcción de invariantes operadores diferenciales en algunos (los llamados parabólico) geometrías.

Por ejemplo, una de conformación de la estructura de $c = [g]$ sobre una suave colector $M$ define una geometría parabólica en este sentido (de conformación de la geometría), y existen los llamados (estándar de conformación) tractor bundle, que en cualquier elección de una métrica $g \in c$ a partir de la conformación de la clase es simplemente la suma directa de $$ \Bbb T = \Omega^0 \oplus \Omega^1 \oplus \Omega^0 $$ pero cuando la otra métrica $\hat{g} \in c$ es elegido esta suma directa de descomposición se transforma muy bien por lo que el estándar (conformación) tractor métrica y la (estándar de conformación) tractor de conexión están bien definidos (invariante) en el tractor paquete.

En "invariantes conformes a los operadores, formas diferenciales, cohomology y una generalización de Q-curvatura" de T. Branson y A. R. Guber, ver, por ejemplo, aquí, en el exterior poderes $$\Bbb T^k = \underbrace{\Bbb T \wedge \dots \wedge \Bbb T}_{\text{k times}}$$ of the tractor bundles were introduced (under the name of $k$-formulario de tractores, ver pág. 24). Se tiene un número de aplicaciones en la teoría de invariantes conformes operadores diferenciales.

Answer 3

En la geometría de Poisson y campos relacionados (por ejemplo, la cuantificación de la deformación a la Kontsevich), uno realmente se considera el paquete de $\wedge TM$ de multivector campos junto con una generalización de la Mentira de soporte en $\Gamma(TM)$ $\Gamma(\wedge TM)$llama la Schouten--Nijenhuis soporte. En particular, la especificación de un corchete de Poisson $\{\cdot,\cdot\}_M$ en un colector $M$ es equivalente a la especificación de una distribución de Poisson bivector, es decir, una sección de $\eta \in \Gamma(\wedge^2 TM)$ tal que $[\eta,\eta]=0$, a través de $\{f,g\}_M = (df \otimes dg)(\eta)$.