$A$ y $B$ son $3\times 3$ matrices reales tales que $\operatorname{rank}(AB)=1$ entonces $\operatorname{rank}(BA$ ) no puede ser cuál de los siguientes?

Question

Estaba pensando en el problema que dice:

Si $A$ y $B$ son $3\times 3$ matrices reales tales que $\operatorname{rank}(AB)=1$ entonces $\operatorname{rank}(BA)$ no puede ser cuál de los siguientes?
(a) $0$
(b) $1$
(c) $2$
(d) $3$ .

Mi intento: He escogido una opción adecuada $3 \times 3$ matrices para $A$ y $B$ teniendo en cuenta que $\operatorname{rank}(AB)=1$ . Digamos, por ejemplo, que si tomo $A$ y $B$ para ser $$A = \begin{pmatrix} 1 &2 &0 \\ 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix}$$ y $$B = \begin{pmatrix} -2 &1 &0 \\ 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix}$$
respectivamente, entonces veo $\operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}(BA) = 1$ . Por lo tanto, la opción (b) no puede ser correcta. ¿Tengo que seguir eligiendo las matrices y luego observar cuál de las opciones es la correcta? ¿Es este tipo de enfoque el correcto para abordar el problema? Estoy buscando una forma directa (por ejemplo, la aplicación de algún teorema) que pueda darme el resultado. También he observado que $AB$ y $BA$ son matrices similares ya que vemos que $A^{-1}(AB)A=BA$ . ¿Esta observación me va a ayudar de alguna manera? Gracias de antemano por su tiempo.

Answer 1

Si sólo quieres resolver el problema, entonces, como han señalado los demás, (d) es imposible y, por tanto, la respuesta es (d). Sin embargo, es útil construir algunos ejemplos para convencerse de que (a)-(c) son realmente posibles (esto es también una comprobación de cordura contra los errores de imprenta). Para ello, puedes considerar las matrices $$A=\begin{pmatrix}1\\&1\\&&0\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}b&0&1\\0&0&0\\0&c&0\end{pmatrix}.$$ Entonces $\operatorname{rank}(AB)=1$ . Ahora puede intentar elegir algunos valores adecuados de $b$ y $c$ para hacer $\operatorname{rank}(BA)$ igual a $0,1$ o $2$ .

Answer 2

Según estas propiedades de los rangos que aparecen en Wikiepdia : http://en.wikipedia.org/wiki/Rank_(álgebra_lineal

Si $A$ es $m \times n$

1. $\operatorname{rank}(AB) \leq \min(\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B))$ si $B$ es $n \times k$
2. $\operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}(A)$ si $B$ es $n \times k$ de rango $n$

Tenga en cuenta que en su situación $m$ , $n$ y $k$ es $3$

Por la propiedad (1) la única forma de tener $\operatorname{rank}(BA) = 3$ es tener ambos $\operatorname{rank}(A) = 3$ y $\operatorname{rank}(B) = 3$ . Desde $\min(\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)) = \min(\operatorname{rank}(B), \operatorname{rank}(A))$ .

Pero en esa situación, podemos aplicar la propiedad (2): $B$ es $3 \times 3$ de rango $3$ y así $\operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}(A) = 3$ .

Así que no puedes tener al mismo tiempo $\operatorname{rank}(BA) = 3$ y $\operatorname{rank}(AB) \neq 3$ utilizando $3 \times 3$ sólo la matriz.

Por lo tanto, la respuesta (d) es correcta.

Answer 3

La respuesta es (d), es decir, si $rank(AB)=1$ entonces $rank(BA)$ no puede ser $3$ . Probémoslo por contradicción. Supongamos que $A, B$ son $3\times 3$ matrices tales que $rank(AB)=3$ entonces $AB$ es invertible. Esto implica que $A$ y $B$ son invertibles (en caso contrario, si $A$ no es invertible, entonces $A$ no puede ser de rango completo, es decir $rank(A)<3$ . Esto implicaría que $rank(AB)\leq rank(A)<3$ que se contradice con $rank(AB)=3$ . Del mismo modo se puede demostrar que $B$ es invertible). Entonces $BA$ es invertible ya que el producto de matrices invertibles es invertible. Esto implica que $rank(BA)=3$ lo que contradice la suposición de que $rank(AB)=1$ .

Para ver que (a), (b), (c) son posibles, podemos construir algunos ejemplos de $A$ y $B$ . Como ha demostrado que (b) es posible (De hecho, podemos simplemente tomar $A$ para ser cualquier matriz de rango 1, es decir $rank(A)=1$ y $B$ para ser la identidad. Entonces $AB=BA=A$ tiene rango $1$ ). Los demás casos los dejaré en sus manos.

Answer 4

Esta pregunta tiene muchas buenas respuestas, pero sólo quiero compartir una respuesta muy breve, que puede que ya se haya discutido en las respuestas anteriores, así que siento responder de nuevo.

$AB$ es un $3\times 3$ matriz, rango $(AB)=1\ne3\Rightarrow AB$ no es de rango completo $\Rightarrow \operatorname{det}(AB)=0\Rightarrow \operatorname{det}(BA)=0\Rightarrow BA$ no es de rango completo $\Rightarrow$ rango $(BA)\ne3$