Modelado de lluvia en un parabrisas de distintas velocidades usando cálculo

Question

Una pregunta recientemente se ha planteado a haga Clic en & Clack Hablar de los Coches (http://www.greatfallstribune.com/story/life/2014/08/07/click-clack-rainy-day-raises-physics-question/13750681/). El tema de la lluvia chocar contra un parabrisas del automóvil y la base de la pregunta es, "Son más las gotas de lluvia golpeando el parabrisas mientras se mueve." Su respuesta es que este problema "es muy sencillo cálculo el problema" y que "...sí, el parabrisas no se golpean con más gotas de agua por segundo, si usted se está moviendo hacia adelante."

Afirman que ellos son incapaces de resolver el problema de cálculo y, a continuación, proporcionar una analogía que parece apoyar su conclusión.

Mi petición: ¿un cálculo persona por favor explicar los pasos a seguir en la resolución de este "sencillo cálculo" problema?

Answer 1

Ya que todas las cantidades involucradas son constantes en el tiempo y en el espacio no hay ningún cálculo necesarias para hacer frente a este problema.

Podemos asumir que no se $N\gg1$ igual tamaño de las gotas de lluvia por unidad de volumen, y que todas estas gotas caen con la misma velocidad $${\bf r}=(r_1,r_2,-r_3),\quad r_3>0\ .$$ El orden de magnitud es de alrededor de $12\>$km $r_3$.

Considere la posibilidad de una superficie de prueba $S$ con la unidad normal de ${\bf n}$. Al ${\bf n}$ es paralelo a ${\bf r}$ las gotas de lluvia golpeando $S$ en el segundo siguiente a llenar un volumen cilíndrico con base $S$ y la altura de la $|{\bf r}|$. El número de estas gotas es por lo tanto, dado por $$N\,{\rm area}(S)\,|{\bf r}|\ .$$ When ${\bf n}$ is tilted by an angle $\alpha$ with respect to ${\bf r}$, este número se reduce a $$N\,{\rm area}(S)\,|{\bf r}|\cos\alpha=N\,{\rm area}(S)\>{\bf r}\cdot{\bf n}\ .\tag{1}$$ El coche se mueve en $x$-dirección y en la velocidad $${\bf v}=(v,0,0),\qquad v\geq0\ ,$$ y su parabrisas está inclinado un ángulo $\theta$, $\>0\leq\theta<{\pi\over2}$, con respecto a la vertical. De ello se desprende que el interior de la unidad normal de los parabrisas está dada por $${\bf n}=(-\cos\theta,0,-\sin\theta)\ .$$ Ahora la velocidad relativa de las gotas de lluvia con respecto al movimiento de parabrisas $S$ está dado por $${\bf p}:={\bf r}-{\bf v}=(r_1-v,\>r_2,\>-r_3)\ .$$ Con el fin de calcular el número de $\Phi$ de las gotas de lluvia golpeando $S$ por segundo, tenemos que reemplazar ${\bf r}$ $(1)$ ${\bf p}$ y así obtener $$\Phi=N\,{\rm area}(S)\>({\bf r}-{\bf v})\cdot{\bf n}=N\,{\rm area}(S)\>\bigl((v-r_1)\cos\theta+r_3\sin\theta\bigr)\ .$$ Aquí el lado derecho es una función creciente de $v$.