Si es diferenciable en $f$, entonces el $[1,2]$ $\exists \alpha\in(1,2): f(2)-f(1) = \frac{\alpha^2}{2}f'(\alpha)$

Question

Si$f$ es diferenciable en$[1,2]$, entonces$\exists \alpha\in(1,2) : f(2)-f(1) = \frac{\alpha^2}{2}f'(\alpha)$

Realmente me gustaría una pista. Me di cuenta de que la ecuación se puede escribir

ps

EDIT: Confundí los teoremas. Supongo que tengo que aplicar el teorema del valor medio, pero no sé cómo.

Answer 1

Que $ g(x) = f(1/x) $ $ x \in [1/2, 1] $. Aplicando el teorema del valor medio, existe un $ c \in (1/2, 1)$ con $ g'(c) = \frac{g(1) - g(1/2)} {1/2} = 2 \; (g(1) - g(1/2)) $$ reescribir esto en términos de $ f $, con $ g'(c) = -\frac{1}{c^2} f'\left(\frac{1}{c} \right) $ y $ g(1) = f(1) $ y $ g(1/2) = f(2) $,: $$ \frac{1}{c^2} f'\left (\frac {1} {c} \right) = 2 (2 f - 1 del artículo f) $ Set $\alpha = 1/c $ lo que $ \alpha \in (1,2) $ y dividir por $ 2 $ encontrar: $ \frac{1}{2} \alpha^2 f'(\alpha) = 2 f - 1 del artículo f $$

Answer 2

Sugerencia: Considere la función$g(x)= f'(x)- \frac{2(f(2)-f(1))}{x^2}$ en el intervalo$[1,2]$ Ahora si te integras encontrarás que$G(x)=\int_1^x g(t)dt= f(x)+\frac{2(f(2)-f(1))}{x}+f(1)-2f(2)$ Ahora es fácil ver que$ G(1)=G(2)=0$ así que según el teorema de Rolle allí Es una raíz de$G'(=g)$ in$(1,2)$