Buscar límite multivariable de:$$\lim_{ \left( x,y\right) \rightarrow \left(0,0 \right)}\frac{x^2y}{x^2+y^3}$ $ ¿Cómo encontrar ese límite? Yo estaba tratando de hacer lo siguiente, pero no soy capaz de encontrar una desigualdad adecuada:$$| \frac{x^2y}{x^2+y^3} | = |y-\frac{y^4}{x^2+y^3}| \le$ $
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Tenga en cuenta que para $x \neq 0$ $y \neq 0$ hemos
$$ \left | \frac{x^2y}{x^2 + y^3} \right| = \left| \frac{y}{1 + \frac{y^3}{x^2}} \right| = \left| \frac{1}{\frac{1}{y} + \frac{y^2}{x^2}} \right| \leq \left| \frac{1}{\frac{1}{y}} \right| = \left| y \right|. $$
Si $x = 0$ o $y = 0$ (pero no $x = y = 0$), entonces también tenemos
$$ \left | \frac{x^2y}{x^2 + y^3} \right| = 0 \leq |y|. $$
Por lo tanto, por definición o por el teorema del sándwich, tenemos
$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^2y}{x^2 + y^3} = 0. $$
Fe de ERRATAS: Vamos a $f(x,y) = \frac{x^2y}{x^2 + y^3}$. Tenga en cuenta que en la "solución" de arriba, en la primera línea, hemos utilizado $y > 0$ para que la desigualdad sea verdadera. De hecho, si nos restringimos nuestra función a la mitad superior del plano, entonces el límite de la función es cero. Sin embargo, si tenemos en cuenta $f$ como una función que se define en su dominio de la naturaleza de la definición de $\mathbb{R}^2 \setminus \{ (x,y) \, | \, x^2 + y^3 \neq 0 \}$, entonces la función no tiene límite en a $(x,y) \to (0,0)$. Usted puede ver esto si traza la gráfica de la función. Analíticamente,
$$ \lim_{n \to \infty} f \left( \frac{1}{n^3}, -\frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^4} \right) = \frac{\frac{1}{n^6} \left( -\frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^4} \right)}{\frac{1}{n^6} + \left(-\frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^4} \right)^3} = \frac{\frac{1}{n^{10}} - \frac{1}{n^6}}{\frac{3}{n^8} - \frac{3}{n^{10}} + \frac{1}{n^{12}}} \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n^4} - 1}{\frac{3}{n^2} - \frac{3}{n^4} + \frac{1}{n^6}} = -\infty.$$
