¿Puede alguien decirme qué está mal con la siguiente línea de argumento:
$ \ Log (-1) = \ log (-1) - \ log (1) = - \ bigg (\ log (1) - \ log (-1) \ bigg) {1} {- 1} \ Big) = - \ log (-1) $$
Teniendo en cuenta el logaritmo complejo, el lado izquierdo evalúa a$ i \pi $ y el lado derecho evalúa a$- i \pi$.
Es porque el logaritmo, si se extienden a los números complejos, sólo está correctamente definido en una superficie de Riemann.
¿Qué significa eso? Primero que nada, aviso que usted está recibiendo $i\pi$ en el lado izquierdo, y $-i\pi$ en el lado derecho. Es interesante notar que:
$$ e^{i\pi}=-1=e^{-i\pi} $$
Ahora el logaritmo puede ser ingenuamente definía como "la inversa de la exponencial'. Entonces, ¿por qué se dice $\log(-1)=i\pi$ e no $\log(-1)=-i\pi$?
Así, el primer aviso de que $e^{2i\pi}=1$. Por lo $e^a=e^{a+2ni\pi}$ para cualquier entero $n$. Esto significa que el logaritmo sólo está definido hasta la suma de $2ni\pi$. Hay dos formas de la ronda este:
Sólo tiene que elegir un valor para el logaritmo en cada punto. Recuerde que el logaritmo de un número complejo $re^{i\theta}$ está dado por $\log_e(r)+i\theta$ donde $\theta$ es el argumento. Es común especificar que, por ejemplo, $-\pi<\theta\le\pi$. Esto se llama una rama cortada, porque cortamos a lo largo del eje real negativo, y terminar con una rama del logaritmo complejo - otra rama está dado por $\pi<\theta\le3\pi$. Para la primera rama $\theta$$-1$$\pi$, así que podemos decir que el $\textrm{Log}(\theta)=i\pi$ (la capital de la L $\textrm{Log}$ se refiere a que el principal valor del logaritmo - ¿qué obtenemos si nos restringimos a una rama particular. Aviso que este logaritmo coincide con la real logaritmo si y sólo si el argumento de los números reales es el elegido para ser $0$ e no $2n\pi$ para algunos entero $n\ne 0$.
La rama de corte significa que el logaritmo no es continua en el eje real negativo (de hecho, no suele ser definido a lo largo del corte). En lugar de estudiar el complejo logaritmo sobre los números complejos, se introduce una superficie de Riemann - unidimensional complejo colector de que 'se une a' la rama cortes de manera que el logaritmo es ahora continua en todas partes. Esta imagen muestra una especie de lo $\log$ parece en una superficie de Riemann:
Lamentablemente, en ninguno de los casos se puede suponer que de costumbre relaciones como $\log(ab)=\log(a)+\log(b)$ todavía se mantienen. Por ejemplo, si hacemos una rama de corte a lo largo del eje real negativo, podríamos intentar averiguar $\log((-1+i)\times(-1+i))=\log(-2i)$ por escrito como $2\log(-1+i)$. El argumento de $\theta$$-1+i$$3\pi/2$, pero el doble que el ángulo de 'cruces' de la rama de corte y terminamos con $-2i$, y tiene un argumento no de $3\pi$ sino $-\pi$. Por supuesto, podríamos colocar la corte en algún otro lugar y que estaría bien. En su ejemplo, sin embargo, usted va a terminar de cruzar la rama de corte donde se coloque.
¿Por qué es eso? Su ejemplo es básicamente equivalente a decir que:
$$ \log(-1)=\log\left(\frac{1}{-1}\right)=-\log(-1) $$
Ahora $-1$ puede ser considerado como dar la vuelta al círculo unidad en un ángulo de $\pi$. El recíproco de un número complejo tiene siempre negativo del argumento original de la serie, por lo $\dfrac{1}{-1}$ puede ser considerado como dar la vuelta al círculo unidad en un ángulo de $-\pi$; es decir, llegar al mismo punto que viajan en la dirección opuesta. Entre ellos, los dos caminos cubrir la totalidad del círculo unidad. Ya que usted tiene que colocar una rama cortada en algún lugar en el círculo, se va a cruzar en algún momento, así que tienes que conseguir una respuesta que no tiene ningún sentido.
Actualización: no recuerdo donde leí por primera vez este, pero es definitivamente cierto. Es fácil mirar algo como esto y la conclusión de que es un poco molesto área de las matemáticas que usted tiene que tratar con el aunque prefiero funcionó de una manera diferente. De hecho, lo opuesto es cierto: esta aparentemente molesto propiedad del logaritmo complejo, de hecho, abre muchas hermosas áreas de las matemáticas, incluyendo el estudio de superficies de Riemann.
Supongamos que integrar "a de $-1$ $1$" y a lo largo de un semicírculo ( de radio $\epsilon\,, \quad 0 < \epsilon < 1$ ) below the $$x-axis: $$ \int_{C}{{\rm d}z \sobre z} = \int_{-1}^{-\epsilon}{{\rm d} x \sobre x} + \int_{-\pi}^{0} {\epsilon{\rm e}^{{\rm i}\theta}{\rm i}\,{\rm d}\theta \más \epsilon{\rm e}^{{\rm i}\theta} } + \int^{1}_{\epsilon}{{\rm d} x \sobre x} = {\rm i}\pi $$ y $$ {\rm i}\pi = \lim_{\epsilon \to 0^{+}}\int_{C}{{\rm d}z \sobre z}\ \mbox{y nunca}\ = \overbrace{\int_{-1}^{1}{{\rm d} x \sobre x}} ^{\mbox{no tiene ningún sentido !!!.}} $$ El ejemplo demuestra que la integración en el Plano Complejo requiere la elección de un camino y no es interpretado de ninguna otra manera, como $\displaystyle{\int_{-1}^{1}\ldots}$.
Tu error es pensar que $\log(-1)$ evalúa a $\mathbf{i} \pi$!
$\log$ es un multi-función con valores. El conjunto de valores de $\log(-1)$ $(1 + 2n) \mathbf{i} \pi$ donde $n$ rangos de todos los números enteros.
No es difícil ver que la negación de cualquier valor en este conjunto es también en este conjunto, por lo que el conjunto de los valores de $-\log(-1)$ es el mismo.
En el nivel más bajo, el problema podría decirse que no estaban prestando atención a las "ramas" del logaritmo, y usted creía, equivocadamente, que los dos lados se refirió a la misma rama. O, podría decirse que se estaban atención a los detalles de la álgebra usted trató de hacer, y el intento de aplicar un logaritmo de identidad en una situación en la que no funciona.
En un nivel alto, sin embargo, la explicación es simple: realmente no has aprendido acerca de multi-funciones con valores, y he redescubierto uno de los muchos problemas que surgen cuando se intenta trabajar con ellos en un ingenuo de la moda.
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