Límite superior de la distancia de matrices ortogonales

Question

Queridos matemáticas stackexchange los usuarios,

Tengo una pregunta sobre ortogonal de matrices: supongamos que tengo una matriz de $X\in\mathbb{R}^{n\times n}$, y creo que la órbita de la ortogonales grupo $O(n)$ actuando desde la izquierda en $X$: $$Orb= \{Y\in\mathbb{R}^{n\times n}\ |\ Y=OX, O\in O(n)\}.$$ Ahora vamos a $\epsilon>0$ y supongamos que tengo $OX\in Orb$ satisfacción $\|X-OX\|_F\leq \epsilon$.

Si $I$ es la matriz identidad, es allí cualquier manera de dar un límite superior en la distancia $\|I-O\|_F$ en términos de$\|X\|_F$$\epsilon$?

Por supuesto, si tengo un límite superior en $\|I-O\|_F$, luego por submultiplicativity de la norma de Frobenius esto le da un límite superior en $\|X-OX\|$. Sin embargo, hay algo en el otro sentido? El ortogonal grupo es un conjunto compacto y esto le da una mínima cota superior. Éste sin embargo, no es aplicable en mi problema.

Muchas gracias!

Answer 1

Si$X$ es invertible, entonces$I-O=(X-OX)X^{-1}$ y:$$\|I-O\| \leq \|X-OX\| \|X^{-1}\| \leq \epsilon\|X^{-1}\|$ $

Si$X$ no es invertible, tome$\|X^{-1}\|=\infty$. No creo que sea posible obtener un límite en términos de$\|X\|$. Considere el caso$2\times 2$ con$O=\left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right]$ y$X=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} \right]$.