¿Cuál es el límite sin masa del electromagnetismo masivo?

Question

Consideremos el electromagnetismo, una teoría del calibre abeliano , con un fotón masivo. ¿Es el límite sin masa igual al electromagnetismo? ¿Qué sucede a nivel cuántico con el grado extra de libertad? Y, ¿qué sucede en el nivel clásico? No podemos obtener un campo escalar clásico sin masas, ¿verdad?

Answer 1

Hay una manera sencilla de entender la enorme electrodinámica de Lagrange y límite, que es el Stueckelberg (Afín de Higgs) mecanismo. Este es matematically equivalente a DJBunk la respuesta, pero es un poco más intuitivo físicamente.

Considere la posibilidad de un Abelian de Higgs del modelo, con una masa electrodinámica vector potencial de $A$ y un campo escalar con un $\phi^4$ potencial

$$ S = \int |F|^2 + |D\phi|^2 + \lambda (\phi^2 - a)^2 $$

A continuación, considere el límite de que la carga e en $\phi$ va a cero, mientras que la masa de la partícula de Higgs, va al infinito ($a\rightarrow\infty$), de tal manera que el producto se $ea$ se mantiene constante. En este límite, usted puede escribir el complejo escalar como:

$$ \phi = R e^{i\theta}$$

Y la R de las excitaciones de tener una masa que va como un, y se extiende hacia el infinito, mientras que el $\theta$ excitaciones son comidos por el campo y juntos hacer un medidor de la masa del bosón de ea. Esta es la enorme electrodinámica modelo, y este límite se muestra por qué es renormalizable \begin{cases} \frac{(x-1)^2}{x-1} & x\neq 1\\ 0 & x = 1 \endusted puede tomar e a cero en forma de U(1) teoría de gauge, porque no hay ningún cargo de cuantización.

En este modelo, es obvio lo que la masa límite de enorme electromagnetismo es: este es el límite que $e=0$ para el campo de Higgs. En este caso, la partícula de Higgs está desacoplado del medidor de campo, y sólo tiene una masa medidor de campo. La longitudinal de los grados de libertad sólo desacopla. Esta es la forma más clara de ver por qué debe ser así, en mi opinión.

Cuando la masa es pequeña, la longitudinal de los grados de libertad, la que proviene de la infinitamente pesado de Higgs en este modelo, es casi disociado, por lo que el límite es suave. La teoría puede ser analizado a partir de la masa de electromagnetismo y agregar el campo de Higgs como una perturbación (siempre y cuando trabaje en el potencial efectivo formalismo).

Answer 2

Comenzando con el de Lagrange para una masiva $U(1)$ bosón vectorial $A_\mu$ a que, como usted dice, tiene 3 DOF:

$\mathcal{L} = - \frac{1}{4 e^2} F^{\mu \nu} F_{\mu \nu} - m^2 A^\mu A_\mu$

ahora bien, si hacemos un cambio de variables a $A_\mu\rightarrow A_\mu - \partial_\mu \theta$ y tenemos (tenga en cuenta que $ F^{\mu \nu} $ y, por tanto, $F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}$ es invariante bajo esta transformación.):

$\mathcal{L} = - \frac{1}{4 e^2} F^{\mu \nu} F_{\mu \nu} - m^2 (A_\mu - \partial_\mu \theta ) (A_\mu - \partial_\mu \theta )$

y cambiar la escala de $ \theta \rightarrow \frac{1}{m}\theta$

$\mathcal{L} = - \frac{1}{4 e^2} F^{\mu \nu} F_{\mu \nu} - (m A_\mu - \partial_\mu \theta ) (m A_\mu - \partial_\mu \theta )$

$ = - \frac{1}{4 e^2} F^{\mu \nu} F_{\mu \nu} - m^2 A^\mu A_\mu +2m \partial_\mu \theta A^\mu -\partial_\mu \theta \partial^\mu \theta $

El punto crucial es que ahora, el Lagrangiano tiene un medidor de redundancia ($A_\mu \rightarrow A_\mu +\frac{1}{m} \partial_\mu \psi $, $\theta \rightarrow \theta + \psi $) lo que disminuye el DOF de $A_\mu$ por 1, 2 DOF. Se podría objetar que la masa plazo todavía está allí, pero hay una mezcla de plazo entre el$A_\mu$$\theta$, por lo que no es correcto pensar en ellos como independiente de la propagación de la PDC.

Finalmente, a muy altas energías cualquier operador, con una dimensión positiva de masa es irrelevante, así que tendría

$ \mathcal{L} \approx - \frac{1}{4 e^2} F^{\mu \nu} F_{\mu \nu} - \partial_\mu \theta \partial^\mu \theta $

y $A_\mu$ tiene sólo 2 de profundidad de campo y no hay otro (gratis) DOF que está desacoplado. La alta energía límite es el límite de masa ya que tenemos una escala para comparar la masa.

Tan lejos como clásicos versos cuántica, mi análisis era esencialmente clásica, sino que atraviesa por la cuantía caso con la salvedad de que tendremos que añadir el indicador de la fijación de términos para el medidor de redundancia que he introducido.

Usted podría preguntarse, ¿qué ocurre a baja energía - bien, entonces, debemos tener realmente se quedó con el original de Lagrange que iniciamos, ya que funciona bien cuando la masa término es relevante y sólo tendríamos un vector de campo con 3 GDL.

En cuanto a la pregunta ¿qué sucede con los electrones en todo esto, el acoplamiento a la original medidor de campo será de la forma

$A_\mu J^\mu$

que en virtud del cambio de las variables de $A_\mu\rightarrow A_\mu - \partial_\mu \theta$ va a

$A_\mu J^\mu - \partial_\mu \theta J^\mu$

en virtud de integración por partes el último término es

$\theta \partial_\mu J^\mu$

y $\partial_\mu J^\mu=0 $ para una conservadas actual, que es lógicamente necesario si queremos que a la par de una masa medidor de campo.

Tenga en cuenta que esto está en marcado contraste con un nonabelian teoría de gauge con términos de masa desde los bosones de goldstone forma no lineal sigma modelo que no es renormalizable. A ver , ¿Qué evidencia hay para el electrodébil mecanismo de higgs?

Como una última palabra, creo que Ron es la respuesta más concisa y responde a su pregunta original mucho mejor. Me gustaría eliminar mi respuesta, pero parece como si algunas personas han encontrado que es útil para los Malos dejarlo.

Answer 3

QED es el límite sin masas de QED masivo. Los modos transversales se suprimen cada vez más a medida que la masa se vuelve diminuta. Esto se puede ver ya en la versión no interactiva, donde$e=0$, para que el campo de fotones se desacopla.