Forma cerrada de$\int_{0}^{\pi/2}x\cot\left(x\right)\cos\left(x\right)\log\left(\sin\left(x\right)\right)dx$

Question

Me gustaría saber si existe una forma cerrada para esta integral

ps

Probé la relación

ps

Pero parece inútil.

Answer 1

Existe una forma cerrada para la integral. Es

$$\frac{\pi^3}{32}+\frac{\pi}{8}\ln^2 2 - 2G-4\,\Im\left[\operatorname{Li}_3\left(\frac{1+i}2\right)\right]+2,$$

donde $G$ es del catalán constante, y $\operatorname{Li}_3$ es el trilogarithm función.

El uso de Cleo resultado se puede expresar en términos de una función hipergeométrica, pero encontrar una forma cerrada de $\Im\left[\operatorname{Li}_3\left(\frac{1+i}2\right)\right]$ es un conocido problema abierto en matemáticas.se.