El límite existe v. Diferenciable

Question

¿La existencia de un límite en un punto no significa necesariamente que sea diferenciable en ese punto?

Toma esta función:

$$f(x) = \frac{(x - 1)^{2}}{x - 1}$$

La función no está definida en x = 1, pero a medida que x se acerca a 1, f(x) va a 0; es decir, una "discontinuidad removible". Pero la función no es diferenciable en 1, ¿verdad?

Answer 1

Tienes razón. $f(x)$ tal como está escrito tiene una discontinuidad en $x=1$ por lo que se considera que no es diferenciable. Sin embargo, si se modifica $f(x)$ insertando la discontinuidad extraíble, $f(x)$ se convierte en una función diferenciable. Es decir $$ g(x)=x-1 = \begin{cases} \frac{(x-1)^2}{x-1} & x\neq 1\\ 0 & x = 1 \end{cases} $$ es una función diferenciable

Como has dicho, la existencia de un límite en un punto (incluso junto con la diferenciabilidad en la vecindad de ese punto) no garantizar que la función es diferenciable en ese punto. Para que una función sea diferenciable en un punto, primero debe ser continuo en ese momento.

Relacionado: la diferenciabilidad implica continuidad .

Answer 2

La continuidad es necesaria para la existencia de un $f'$ , lo que significa que si una función $f$ tiene una discontinuidad en $x=a$ entonces $f$ no es diferenciable en $x=a$ . Su función no es continua en $x=1$ por lo que no es diferenciable en $x=1$ . Además, la continuidad no es una condición suficiente. $|x|$ es continua sobre $\mathbb{R}$ pero no es diferenciable en $x=0$ .

Answer 3

Para el ejemplo que has puesto, la función no es diferenciable en ese punto debido a la discontinuidad que existe en ese punto.

Recuerda que la definición de una derivada en un punto utiliza un límite, por ejemplo

$$f' (a) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

Por lo tanto, es sólo diferenciable cuando existe un límite así que sí, tienes razón cuando dices que si existe un límite, la función es diferenciable y cuando no existe, la función no es diferenciable.

Answer 4

Por las propias definiciones de estos conceptos, una función es continua sólo en los puntos $a$ donde está definido ( $\lim_{x\to a} f(x)=\color{red}{f(a)}$ ) y es diferenciable sólo en los puntos $a$ donde está definido ( $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-\color{red}{f(a)}}{x-a}$ existe). También encontramos como teorema simple que las funciones son continuas cuando son diferenciables, pero para el problema que nos ocupa basta con observar que $f$ ni siquiera está definido en $x=1$ por lo que no es diferenciable allí.

Hay que distinguir entre la función dada $f$ y la función que se obtiene eliminando la singularidad extraíble (que por supuesto es continua y en este caso también diferenciable en el punto en cuestión)