¿Cómo probar que sólo las ondas sinusoidales mantienen su forma cuando se suman y tienen el mismo período?

Question

Si$f(t)$ es periódico y$f(t) + C \cdot f(t + t_1)$ tiene la misma forma de$f(t)$ para cada valor de$C$ y$t_1$ Una onda sinusoidal.

¿Hay una prueba simple?

¿Hay una explicación intuitiva? Quiero decir sin usar, por ejemplo, la Transformada de Fourier.

¡Gracias por adelantado!

Answer 1

Una manera de describir lo que hace que la traducción de ondas sinusoidales especial es la siguiente: ondas sinusoidales $f(t)$ tienen la propiedad de que el subespacio del espacio de funciones se extendió por sus traduce $f(t + t_0), t_0 \in \mathbb{R}$ $2$- dimensional, se extendió por $\cos t, \sin t$. ¿Qué otras funciones tiene esta propiedad? (No voy a exigir periodicidad todavía; esta condición ya es muy restrictiva.)

Resulta que la respuesta es la siguiente. Deje $V$ ser el subespacio generado por la que traduce, y quiero suponer que $f(t)$ es suave. Debido a $V$ es finito-dimensional, es, en particular, cerrado, así que, si $g(t) \in V$ es diferenciable, a continuación,$g'(t)$, que es un límite de funciones en $V$, que también es $V$. Por lo tanto las funciones de $f(t), f'(t), f''(t) \in V$ debe ser linealmente dependiente, lo que significa que $f(t)$ satisface la ecuación diferencial de la forma

$$a f''(t) + b f'(t) + c f(t) = 0.$$

Soluciones a ecuaciones diferenciales de esta forma son muy restringidas. Son combinaciones lineales de las funciones de las siguientes formas:

• $e^{rt}, r \in \mathbb{R}$
• $t e^{rt}, r \in \mathbb{R}$
• $e^{at} \cos bt, a, b \in \mathbb{R}$
• $e^{at} \sin bt, a, b \in \mathbb{R}$

En particular, los únicos que son también periódica son ondas sinusoidales.