En lo que sigue, denotaremos por a $a_n(G)$ el número de elementos de satisfacciones $x^n = 1$ en $G$ ($n$ cualquier número entero). Ahora dos grupos de $G$ $H$ tienen el mismo orden de la secuencia (es decir. mismo orden, y el mismo número de elementos de cada orden) si y sólo si $a_n(G) = a_n(H)$ para todos los enteros $n$. Para ver esto, se puede utilizar el hecho de que $a_n(G) = \sum_{d \mid n} o_d(G)$ donde $o_d(G)$ es el número de elementos de orden $d$$G$.
Supongamos que $G$ $H$ tienen el mismo orden de la secuencia. Como Alexander menciona en su respuesta, esto no implica que $G$ $H$ son isomorfos.
Pero es cierto, si asumimos que $G$ es de simple!!! Esto se desprende de un mayor resultado que fue probado en el 2009. Ver las diapositivas aquí para obtener más información.
Si $G$ es simple, a continuación, $G$ $H$ son isomorfos.
La prueba de la afirmación anterior se utiliza la clasificación de los finitos simples grupos (no es de extrañar).
Hay un par de características que están determinadas por el orden de las secuencias, y muchos de los que no lo son.
Si $G$ es cíclica y, a continuación, $H$ es cíclico.
Prueba: Este es un lema común. Si $a_n(G) \leq n$ para todos los enteros $n$, $G$ es un grupo cíclico. Ver las respuestas en esta pregunta.
Si $G$ es nilpotent, a continuación, $H$ es nilpotent.
La prueba: Un grupo finito $G$ es nilpotent si y sólo si cada subgrupo de Sylow de $G$ es normal. Deje $p$ ser un divisor primo de $|G|$ $p^\alpha$ el orden de Sylow $p$-subgrupo en $G$. A continuación, $G$ tiene un normal Sylow $p$-subgrupo si y sólo si $a_{p^{\alpha}}(G) = p^\alpha$.
Contraejemplos para algunas propiedades:
- $G$ abelian, $H$ nonabelian: $G = C_p \times C_p \times C_p$, $H$ Heisenberg grupo de orden $p^3$
- $G$ supersolvable, $H$ no supersolvable: $G = \operatorname{SmallGroup}(72,35)$ $H = \operatorname{SmallGroup}(72, 40)$.
- En el ejemplo anterior $G$ también satisface la inversa a la del teorema de Lagrange, y $H$ no.
- $G$ $H$ tienen diferentes números de Sylow $p$-subgrupos: $G = \operatorname{SmallGroup}(216,34)$, $H = \operatorname{SmallGroup}(216,100)$. Aquí $G$ $27$ Sylow $2$-subgrupos, mientras que $H$ $9$ Sylow $2$-subgrupos.
- (Thompson) $G$ $H$ tienen diferentes factores de composición. La Mathieu grupo $M_{23}$ (wikipedia) tiene dos máximos subgrupos $G$ $H$ orden $40320$ tal que $G$ $H$ tienen el mismo orden de la secuencia, sino $G = \operatorname{PSL(3,4)}:2$$H = 2^4 : A_7$.
- etc..
Hay un teorema de Frobenius (1895), el cual dice que si $n$ divide el orden de $G$, $a_n(G)$ es un múltiplo de a $n$. Frobenius conjetura afirma que si $n$ divide el orden de $G$$a_n(G) = n$, $G$ tiene un único subgrupo de orden $n$. Esta hipótesis fue probada en 1991, y la prueba utiliza la clasificación de los finitos simples grupos. Por lo tanto
Si $G$ tiene un único subgrupo de orden $n$, $H$ tiene un único subgrupo de orden $n$.
El uso de Frobenius conjetura, también podemos deducir la siguiente.
Si $G$ es supersolvable, a continuación, $H$ es solucionable.
Prueba: (de este artículo) Supongamos $G$ orden $|G| = p_1^{a_1} \ldots p_t^{a_t}$ donde $p_1 < p_2 < \ldots < p_t$ son números primos. Sabemos que $|G| = |H|$. Además, desde el $G$ supersolvable, vemos que $a_n(G) = n$ por cada $n = p_i^{a_i} p_{i+1}^{a_{i+1}} \ldots p_t^{a_t}$. Por lo tanto $a_n(H) = n$ para cada una de dichas $n$ desde $G$ $H$ tienen el mismo orden de la secuencia. Por Frobenius conjetura, $H$ tiene un único subgrupo de orden $p_i^{a_i} p_{i+1}^{a_{i+1}} \ldots p_t^{a_t}$ por cada $i$ e lo $H$ deben ser resueltos.
Entonces, ¿qué acerca de cuándo $G$ es solucionable? Podemos deducir que $H$ debe ser solucionable? Nadie lo sabe. Este es un problema abierto, debido a J. G. Thompson (Kourovka Notebook, 12.37).
Por último, permítanme mencionar que existen algunas condiciones en el orden de la secuencia de la fuerza de la solvencia. Por ejemplo, si $a_n(G) \leq 7n$ para todos los enteros $n$ la división de la orden de $G$, $G$ es solucionable. Tenga en cuenta que cuando se $G = A_5$, $a_n(G) \leq 8n$ todos los $n$ la división de la orden de $G$.
