Integral múltiple de min

Question

¿Cómo se puede demostrar esto? $$ \int_0^1 \int_0^1...\int_0^1 min(x_1,x_2,...,x_n) dx_1dx_2...dx_n = \frac1{n+1} $$

He intentado dividir la última integral en $$\int_0^{min(x_1,x_2,...,x_{n-1})} x_ndx_n + \int_{min(x_1,x_2,...,x_{n-1})}^1 min(x_1,x_2,...,x_{n-1})dx_n$$

Y luego continuar de esta manera. Entonces la función que queda por integrar satisface esta relación de recurrencia $$ f_n = (1-x)f_{n-1} + \int f_{n-1} $$

Entonces se me ocurrió utilizar la siguiente notación

$$I_n = \frac{ (-1)^{n+1}x^n }{n} + \frac{ (-1)^{n}x^{n-1} }{n-1} $$

Si calculamos la última integral, las n-1 integrales se aplican a $I_2$ Si aplicamos otra integral obtenemos $I_3+I_2$ y así sucesivamente, que se parecerá al triángulo de Pascal. Pero no puedo ir más allá.

Answer 1

Aquí hay otro enfoque:

Consideremos primero el conjunto $A=\{(t_1,\dots,t_n):t_1\le\dots\le t_n\}$ . En este conjunto, su integral se convierte en $$ \int_0^1 \int_0^{t_n}...\int_0^{t_2} \int_0^{t_1} x_1 dx_1dx_2...dx_n = \frac1{(n+1)!}. $$

Dado que hay $n!$ conjuntos como $A$ que son la unión es $[0,1]^n$ entonces $$ \int_0^1 \int_0^1...\int_0^1 min(x_1,x_2,...,x_n) dx_1dx_2...dx_n = n!\times \frac1{(n+1)!}=\frac1{n+1}. $$

Answer 2

Primero, escriba

\begin{align*} I &:= \int_{0}^{1} \cdots \int_{0}^{1} \min \{ x_{1}, \cdots, x_{n} \} \, dx_{n}\cdots dx_{1} \\ &= \int_{0}^{1} \cdots \int_{0}^{1} \int_{0}^{\min \{ x_{1}, \cdots, x_{n} \}} dt \, dx_{n}\cdots dx_{1}. \end{align*}

Al observar que $t \leq \min \{x_{1}, \cdots, x_{n}\}$ equivale a $t \leq x_{1}, \cdots, t \leq x_{n}$ encontramos que $I$ es el volumen de la región $\mathcal{W}$ definido por

$$ \mathcal{W} = \{ (t, x_{1}, \cdots, x_{n}) : 0 \leq t \leq 1, t \leq x_{1} \leq 1, \cdots, t \leq x_{n} \leq 1 \}. $$

Así, por el Teorema de Fubini tenemos

\begin{align*} I &= \int_{0}^{1} \int_{t}^{1} \cdots \int_{t}^{1} \, dx_{n}\cdots dx_{1} \, dt = \int_{0}^{1} (1-t)^{n} \, dt = \frac{1}{n+1}. \end{align*}

Esta solución puede codificarse en el lenguaje de la probabilidad como sigue: Sea $U_{1}, \cdots, U_{n}$ sean variables aleatorias uniformes i.i.d. en $[0, 1]$ . Entonces

\begin{align*} &\int_{0}^{1} \cdots \int_{0}^{1} \min \{ x_{1}, \cdots, x_{n} \} \, dx_{n}\cdots dx_{1} \\ &\qquad = \Bbb{E}( \min\{ U_{1}, \cdots, U_{n} \} ) \\ &\qquad = \int_{0}^{1} \Bbb{P}(\min\{ U_{1}, \cdots, U_{n} \} > x) \, dx \\ &\qquad = \int_{0}^{1} \Bbb{P}( U_{1} > x, \cdots, U_{n} > x) \, dx \\ &\qquad = \int_{0}^{1} \Bbb{P}( U_{1} > x)^{n} \, dx \qquad (\because \text{i.i.d.}) \\ &\qquad = \int_{0}^{1} (1 - x)^{n} \, dx = \frac{1}{n+1}. \end{align*}

Answer 3

Utiliza el hecho de que, $\min \{a,b\} = (a+b-|a-b|)/2$ para todos $a,b \in \mathbb R$ .