¿Las estructuras isomorfas siempre satisfacen las mismas oraciones de segundo orden?

Question

Sé que si dos estructuras matemáticas son isomorfas, entonces satisfacen las mismas oraciones de primer orden. Lo contrario es falso.

Esta es probablemente una pregunta completamente obvia, pero ¿es cierto que siempre que dos estructuras matemáticas son isomorfas, satisfacen las mismas oraciones de segunda orden? Y si es así, ¿se mantiene la conversación?

Answer 1

La respuesta es sí, trivialmente. Esto se sigue inmediatamente de la definición de un isomorfismo y la satisfacción de la relación.

Un isomorfismo significa que hay un bijection que conserva la interpretación de la constante, relación y función de los símbolos. Este bijection puede ser "levantado" para ser un bijection entre conjuntos de poder, el poder de conjuntos de poder, y así sucesivamente y así sucesivamente.

Recordar que si $M$ es una estructura y $\varphi$ es una sentencia de segundo orden de la lógica (sin la adición de nuevos extralogical símbolos, por supuesto!) a continuación, definimos $M\models\varphi$ por recursión sobre la estructura de $\varphi$. Esta definición comienza con fórmulas atómicas y continuar haciendo las fórmulas más complejas. Si usted sigue la definición más de cerca, se verá que todo esto es isomorfismo invariante.

Y esto es válido no sólo para la primera/segunda-la lógica de orden. Es cierto para los mayores de la orden de la lógica, infinitary lógicas, e incluso abstracto cuantificadores (al menos las que yo conozco).

Por otro lado, no sé si lo contrario es cierto. Parece improbable, pero posible.

Answer 2

La primera afirmación es verdadera. Que es

Teorema. Si dos estructuras matemáticas son isomorfos, que cumplen la misma de segundo orden de las frases.

Prueba. Deje $\mathscr{A}, \mathscr{B}$ dos modelos isomorfos, con $f$ siendo el isomorfismo entre ellos. Por inducción en segundo orden de fórmula $\phi$, se puede demostrar que para todos los $x_1, \ldots, x_m \in A$ y todos los $X_1, \ldots, X_n \subseteq A$, $$\mathscr{A} \models \phi(x_1, \ldots, x_m, X_1, \ldots, X_n) \Leftrightarrow \mathscr{B} \models \phi(f(x_1), \ldots, f(x_m), f``X_1, \ldots, f``X_n).$$ La prueba es idéntica a la del primer caso de la orden.

Primero probar que para todos los términos de $t(v_1, \ldots, v_m, V_1, \ldots, V_n)$, tenemos que para todos los $x_1, \ldots, x_m \in A$ y todos los $X_1, \ldots, X_n \subseteq A$, $$f(t^\mathscr{A}(x_1, \ldots, x_m, X_1, \ldots, X_n)) = t^\mathscr{B}(f(x_1), \ldots, f(x_m), f``X_1, \ldots, f``X_n),$$ al $t$ es de primer orden término, y $$f``t^\mathscr{A}(x_1, \ldots, x_m, X_1, \ldots, X_n) = t^\mathscr{B}(f(x_1), \ldots, f(x_m), f``X_1, \ldots, f``X_n),$$ al $t$ es un término de segundo orden. Esto es fácil. Por ejemplo, para $t = V$ donde $V$ es un de segundo orden variable, tenemos que para todo $X \subseteq A$, $$f``t^\mathscr{A}(X) = f``X = t^\mathscr{B}(f``X_1).$$

Ahora la prueba de la inducción de las fórmulas. El único paso diferente desde el primer caso de la orden en la inducción de la prueba de ello es el cuantificador. Tenemos que \begin{align*} \mathscr{A} &\models \exists X \phi(X, x_1, \ldots, x_m, X_1, \ldots, X_n) \\ &\Leftrightarrow \text{ there exists } X \subseteq A \text{ s.t. } \mathscr{A} \models \phi(X, x_1, \ldots, x_m, X_1, \ldots, X_n) \\ &\Leftrightarrow \text{ there exists } f``X \subseteq B \text{ s.t. } \mathscr{B} \models \phi(f``X, f(x_1), \ldots, f(x_m), X_1, \ldots, f``X_n) \\ &\Leftrightarrow \mathscr{B} \models \exists X \phi(X, f(x_1), \ldots, f(x_m), f``X_1, \ldots, f``X_n). \end{align*} $\dashv$

La segunda pregunta es muy interesante. El recíproco es falso en general. Yo no sabía la respuesta, pero he encontrado una respuesta por Joel David Hamkins aquí http://mathoverflow.net/a/95761/35760. Así

Teorema. Cada constante de primer orden de la teoría T con una infinita modelo tiene un segundo orden de finalización que no es categórica.

Lo que significa que existen modelos que son equivalentes para los de segundo orden de las fórmulas, pero no son isomorfos. Yo no tenía idea de que esto podía suceder.