Cómo se demuestra la siguiente identidad trigonométrica: $$ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$
Tengo curiosidad por conocer las diferentes formas de demostrar esto dependiendo de las diferentes caracterizaciones del seno y el coseno.
Como todos los métodos son aceptados, toma la exponencial compleja definida como su serie y considera las definiciones complejas de las funciones trigonométricas:
$$\cos (z)=\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\, \land \, \sin(z)=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}, \text{ for all }z\in \mathbb C.$$
Tome $\theta \in\mathbb R$ . Se cumple lo siguiente: $$\begin{align} (\cos(\theta))^2+(\sin (\theta))^2&= \dfrac{e^{ 2i\theta}+2+e^{-2i\theta}}{4}-\dfrac{e^{2i\theta}-2+e^{-2i\theta}}{4}\\ &=\dfrac {2-(-2)}4=1.\end{align}$$
Mira este es el tipo de respuesta que quería algo diferente y no siempre pensado (no por los estudiantes de secundaria al menos) Gracias por esto.
Dejemos que $(\mathscr C)$ sea un círculo unitario, y $\mathrm M\in(\mathscr C)$ . Además, denotaremos $\rm \angle{IOM}$ como $\theta$ (véase el diagrama). A partir de la definición del círculo unitario, las coordenadas del punto $\rm M$ son $(\cos\theta,\sin\theta)$ . Y así, $\rm \overline{OC}$ es $\cos \theta$ y $\rm \overline{OS}$ es $\sin \theta$ . Por lo tanto, $\rm OM=\sqrt{\overline{OC}^2+\overline{OS}^2}=\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}$ . Desde $\rm M$ se encuentra en el círculo unitario, $\rm OM$ es el radio de ese círculo, y por definición este radio es igual a $1$ . Se deduce inmediatamente que: $$\color{grey}{\boxed{\,\displaystyle\color{black}{\cos^2\theta+\sin^2\theta=1}}}$$
$\phantom{X}$
Consideremos un triángulo rectángulo, $\Delta ABC$ , donde $\angle BAC = \theta$ ,
Por el Teorema de Pitágoras , $$ {AC}^2+{BC}^2 = {AB}^2 $$ Dividiendo por $AB^2$ , $$ \require{cancel} \begin{align} &\Rightarrow \frac{AC^2}{AB^2} + \frac{BC^2}{AB^2} = \frac{AB^2}{AB^2}\\ &\Rightarrow \Big(\frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}\Big)^2 + \Big(\frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}\Big)^2 = \frac{\cancel{AB^2}}{\cancel{AB^2}} = 1\\ &\Rightarrow \boxed{\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1} \end{align} $$
Esta es una buena "primera prueba" para mostrar a alguien, ya que sólo requiere los fundamentos de la trigonometría; a efectos pedagógicos, me gustaría señalar que la desventaja de esta prueba es que sólo maneja ángulos agudos. La prueba del círculo unitario es muy similar en espíritu -de hecho, se puede aplicar Pitágoras- pero funciona para todos los ángulos.
@Silverfish: Estoy de acuerdo y es por eso, que había elegido la respuesta del círculo de la unidad por encima de todas las demás (incluso de las sorprendentemente buenas). Pero para que sepas, lo anterior primera prueba puede ampliarse para todos los ángulos ya que un ángulo obtuso puede expresarse como la suma de varios ángulos agudos . Es conceptualmente simple pero geométricamente complicado para $\theta > 2\pi$ (pero si aplicas ciertos resultados, puedes volver a reducirlo a simple) y debido a su naturaleza trivial, lo dejo como ejercicio para tu imaginación.
Estoy de acuerdo. Sólo señalo que, pedagógicamente, probablemente no quieras utilizar la fórmula de la suma de ángulos porque suele enseñarse más tarde, y hacerlo de forma diagramada resulta un poco engorroso comparado con lo "limpio" que es el círculo unitario. Pero es posible.
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¿Por definición? Esto depende realmente de cómo se definan las funciones para empezar.
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¡Mira el círculo de la unidad!
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¿Conoces el teorema de Pitágoras?
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@ncmathsadist: Ok, esto no es una tarea. He publicado esta pregunta por la curiosidad de saber cuántas estrategias diferentes hay para probar esto. Además, ¿cómo hago para que esto sea una wiki comunitaria?
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¿Qué pasa con las dos últimas frases? Están redactadas como si nos estuvieras poniendo deberes...
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@anon: oh dios, lo siento mucho, he borrado esas líneas. De nuevo quería ver la forma diferente en que los matemáticos demuestran cosas simples como esta. Incluso yo he presentado una prueba.
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No entiendo por qué algunos han votado en contra de esta pregunta mientras que al mismo tiempo tanta gente se ha apresurado a ofrecer su isnight. Puede parecer una pregunta sencilla, pero lo cierto es que hay muchas formas de demostrar esa identidad.
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@JohnK: Exactamente la razón por la que hice esta pregunta. Creo que los downvotes se deben a mi uso descuidado de las palabras. Toda esa gente debe haberme confundido con alguien que hace trampas en los deberes o algo así, pero si se hubieran molestado en leer los comentarios de aquí, la mayoría no habrían hecho lo que hicieron.
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@Dylan: Oh, lo siento. Lo sé, lo sé, para obtener la respuesta correcta, primero debo hacer la pregunta correcta. He leído la Guía del Autoestopista Galáctico, conozco su significado, pero no puedes esperar que formule todas y cada una de las preguntas que hago de la mejor manera posible cada vez. Sólo soy humano. Además, he añadido la definición más sencilla de pecado y cos en mi pregunta. Por favor, ayúdame a mejorar mi pregunta.
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Por favor, no cierre esta pregunta. Dígame qué debería añadir. Dónde puedo mejorar mi pregunta. ¿Por qué hay tanto alboroto por esto?
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Genial, creo que ahora la respuesta de JohnK responde bien a tu pregunta.
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@DylanYott: Por mucho que me guste la respuesta estándar de JohnK, considero que todas estas respuestas son buenas formas de demostrarlo.
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Cerrar votantes: según la edición "Tengo curiosidad por conocer las diferentes formas en que los matemáticos abordan este tipo de preguntas", dudo mucho que esto sea una tarea sin esfuerzo.
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Estoy de acuerdo con @julien, creo que es una pregunta razonable y pido disculpas si al principio he parecido grosero.
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He propuesto una edición cosmética. A algunas personas no les gustan las fuentes grandes inútiles. Simplemente retrocede si no estás de acuerdo.
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Como puede ser esto tarea, OP seguro que sabe que google lo tiene. Todos los que han votado por el cierre necesitan repensar su proceso de pensamiento. Esto es un SOP.
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El comunicado de puesta en espera dice
This information helps others identify where you have difficulties and helps them write answers appropriate to your experience level.No tengo dificultades. Esto no es una tarea. I quiere diferentes niveles de respuesta porque quiero saber cómo diferentes matemáticos demuestran esto de diferentes maneras. Esta comunidad siempre será considerada como un lugar para que los niños pequeños hagan trampa en sus tareas si todos ustedes siguen asumiendo que cada pregunta que parece una tarea es una tarea sin siquiera preguntar.2 votos
Yo soy así que Me sorprende que esto no sea un duplicado. Pero, creo que es una pregunta canónica que necesitamos en Math.SE sólo porque es fundamental para muchos otros teoremas/hechos. (Voto por la reapertura. Que, por cierto, es algo que raramente hago).
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@anorton: No te vas a creer la cantidad de cosas fundamentales que no se piden que se demuestren en M.SE ... Pero ahora me temo que si pregunto esas cosas serán tratadas de la misma manera que lo fue esta pregunta.
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@SamiBenRomdhane: Sí, conozco el teorema de Pitágoras, proporcioné una respuesta utilizándolo.
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@Nick Siempre habrá una lucha por probar algunas cosas fundamentales (como podrían ser los deberes), pero yo no dejaría que eso te detenga. :)
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@anorton: ¿Cómo lo haces, anorty? ¿Cómo les hago creer?
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math.stackexchange.com/questions/572585/
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Bonita pregunta y bonito título, has conseguido que esta pregunta entre en la barra de Preguntas Calientes de la Red con tu título tan ingenioso. ;)