Mostrar que $e^{f(x)}$ es convexo.

Question

Sea $f : (0,\infty) \to \mathbb{R}$ una función convexa. Demuestra que $e^{f(x)}$ es una función convexa en $(0,\infty)$.

Mi idea original era tratar de demostrar que la segunda derivada es positiva, pero esto no funcionará ya que $f(x)$ no necesariamente es diferenciable. Aquí está mi segundo intento:

Por definición, dado que $f$ es convexa, tenemos que $f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$ para cualquier $\lambda \in (0,1)$ y $x,y \in (0,\infty)$. Luego, aplicando la exponencial a ambos lados tenemos que $e^{f(\lambda x+(1-\lambda)y))}\leq e^{\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)}$. Aplicando reglas de exponentes, $e^{f(\lambda x+(1-\lambda)y))} \leq e^{\lambda f(x)}e^{(1-\lambda)f(y)}$. A partir de aquí, quiero llevar los términos $\lambda$ y $1-\lambda$ al frente de la exponencial, pero estoy atascado en cómo hacer esto.

Answer 1

\begin{align} f(\lambda x + (1-\lambda)y) & \le \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y) & & \text{por ser $f$ convexa.} \\[10pt] \text{Por lo tanto } e^{f(\lambda x+(1-\lambda)y))} & \leq e^{\lambda f(x) + (1-\lambda) f(y)} & & \text{porque $w\mapsto e^w$ es creciente,} \\[10pt] & = e^{\lambda v + (1-\lambda) w} \\[10pt] & \le \lambda e^v + (1-\lambda)e^w & & \text{por ser $w\mapsto e^w$ convexa, ya que} \\ & & & \text{su segunda derivada es positiva,} \\[10pt] & = \lambda e^{f(x)} + (1-\lambda)e^{f(y)}. \end{align}

Answer 2

"Desde aquí, quiero llevar los términos $\lambda$ y $1−λ$ delante del exponencial, pero estoy atascado en cómo hacerlo."

Si deseas continuar desde donde te quedaste: denotando $e^{f(x)}=A$, $e^{f(y)}=B$, debes probar que $$ A^\lambda B^{1-\lambda}\le\lambda A+(1-\lambda)B. $$ Tomando el logaritmo en ambos lados, es equivalente a $$ \lambda\ln A+(1-\lambda)\ln B\le\ln(\lambda A+(1-\lambda)B) $$ lo cual es equivalente a la definición de logaritmo como una función cóncava.

Answer 3

De hecho, hay una prueba más en el espíritu del análisis convexo. Recuerda que llamamos a una función convexa si su epígrafe (es decir, el conjunto de puntos que yacen sobre o por encima de su gráfica) es convexo. La intersección de cualquier familia de conjuntos convexos es convexa, por eso el supremo de cualquier familia de funciones convexas es convexo.
Para la prueba, solo necesitamos la desigualdad elemental $e^z \geq 1+z$ para todo $z$ real. Entonces, tenemos $$e^x=e^{x-y}e^y\ge e^y\,[1+(x-y)]=x\,e^y+(1-y)\,e^y,$$ y hay igualdad para $y=x$. Así, $$e^x=\sup_{y\in\mathbb{R}}\,\left[x\,e^y+(1-y)\,e^y\right].$$ Sustituyendo $f(x)$ en lugar de $x$, tenemos $$e^{f(x)}=\sup_{y\in\mathbb{R}}\,\left[f(x)\,e^y+(1-y)\,e^y\right],$$ y el RHS es un supremo de funciones convexas, ya que el coeficiente $e^y$ de $f(x)$ siempre es positivo.