¿serie de la función φ diverge?

Question

Hoy pensé que probó que divergieron las siguientes series:

$$\sum_{n=2}^\infty\frac{\phi(n)}{n^2}$$

como resultado de una mala aplicación del teorema primero del número. Confundieron $\phi(n)$ $\pi(n)$ en la declaración. ¿Es este salvable? He estado tratando de encontrar límites inferiores para $\phi(n)$ que me puedo pasar a, pero la literatura en esta es un poco densa para mí.

Gracias

Answer 1

Diverge. De hecho, tomando los términos correspondientes a números primos da $$\sum_{p \text{ prime}} \frac{\phi(p)}{p^2} = \sum_{p \text{ prime}} \frac{p-1}{p^2} > \sum_{p \text{ prime}} \frac{1}{2p} y la suma de los recíprocos de los números primos se conoce a divergir (enlace de Wikipedia).

Answer 2

Wikipedia dice:

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{\phi(n)}{n^s} = {\zeta(s-1)\over\zeta(s)}$$

Así $s = 2$, obtenemos $\zeta(1)/\zeta(2)$ que diverge.

Answer 3

$\varphi(n)\leq n$, Por lo tanto el % de la serie de Dirichlet $\sum_{n\geq 1}\frac{\varphi(n)}{n^s}$es convergente para cualquier $s>2$.
Desde $\varphi$ es una función multiplicativa, por producto de $$ \sum_{n\geq 1}\frac{\varphi(n)}{n^s} = \prod_{p}\left(1+\frac{\varphi(p)}{p^s}+\frac{\varphi(p^2)}{p^{2s}}+\ldots\right)=\prod_{p}\frac{1-p^{-s}}{1-p^{1-s}}=\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)} de Euler para cualquier $s>2$, donde el lado derecho se comporta como $\frac{6}{\pi^2(s-2)}$ $s\to 2^+$.
Se sigue que la original serie es divergente: $$ \sum_{n=1}^{N}\frac{\varphi(n)}{n^2}\approx \frac{6}{\pi^2}\log N.