Generalizaciones y extensiones son comunes en matemáticas, pero no estoy claro en lo que la diferencia entre los dos. ¿Son realmente sinónimos? Si no, te lo agradeceria con un ejemplo de cada uno, con lo que dejó claro por qué la generalización no se debe llamar una extensión, y por qué la extensión no se debe llamar una generalización.
Respuestas
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Vamos a empezar con dos ejemplos:
Suponga que tiene una función de $f\colon(0,1)\to\mathbb R$. Usted puede convertir esto en una función de $\tilde f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ por definir, por ejemplo, $\tilde f(x)=f(x)$ al $x\in(0,1)$ $\tilde f(x)=0$ lo contrario. La función de $\tilde f$ es una extensión de $f$, no es una generalización.
Quizá ha demostrado anteriormente que si $x\leq y\leq x$ de $x$$y$,$x=y$. Pero, de hecho, lo mismo ocurre si $x$ $y$ son matrices. No hay una definición natural de "$\leq$" para las matrices. En el caso de $1\times1$ matrices de obtener la versión original de la espalda. El resultado para matrices es una generalización del resultado en la línea real. Yo no se opone a la llamada de esta extensión, pero yo prefiero usar la palabra "generalización" en su lugar.
Yo diría que, en general, objetos extendidos y los resultados son generalizados.
Querrá extender su campo de los reales para el complejo (o hacer alguna otra extensión de campo), o es posible que desee ampliar el dominio de definición de la función. La generalización es una más general de resultados que contiene el resultado original como un caso especial. Si el resultado original no está incluido, yo no lo llamaría el nuevo resultado de una generalización, pero y análogo resultado inspirado en el original. Del mismo modo, si una nueva función que es de alguna manera inspirado en un viejo, pero no "contener", yo prefiero llamarlo un inducida por la función en lugar de una extensión.
user21820
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Estoy de acuerdo con Joonas que la "extensión" puede ser usado para referirse a los objetos, tales como funciones extendido a un dominio más grande, mientras que la preservación de algunas de las propiedades, o en el campo (extensiones de un campo más amplio que contiene el original). Sin embargo, hacemos a menudo usa la misma palabra para referirse a la generalización de un teorema como bueno, es decir, podríamos decir algo así como "fácilmente podemos extender este resultado a un espacio métrico arbitrario.". Por lo tanto se ven cosas como "extended media-teorema del valor" y "extendido el teorema de Bayes" y "extendido Verde del teorema". También, el artículo de la Wikipedia sobre el teorema del binomio incluso usa las dos palabras juntas: "La generalizada del teorema binomial puede ser extendido al caso en que x e y son números complejos.".
La línea de fondo es que las palabras "generalización" y "extensión" gire a tener el natural sentido que tiene en inglés, incluso cuando se utiliza en las matemáticas, la mayoría del tiempo. No obstante, cabe la pena señalar que hay un significado técnico de "extensión" en el campo de la lógica, que tiene poco que ver con el sentido que tiene en inglés.
Michael K Campbell
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Pensemos en un objeto matemático como un conjunto en el que algunas operaciones se definen. Una extensión es un objeto más de los que el objeto original es parte, mientras que la generalización es un menos bien definida de objetos, de que el objeto original es un ejemplo. En una extensión, las operaciones definidas en el conjunto original se extienda a aplicar de una manera similar para el conjunto ampliado. En ambos casos, algunas de las características y propiedades de las operaciones originales, pero en general no todos de ellos.
El ejemplo canónico es el conteo de los números: $1$, $2$, $3$, ... . Este conjunto de ($\Bbb Z_+$) de los números se extiende primero por $0$ a los números naturales ($\Bbb N$) y, a continuación, por los números negativos para formar los números enteros ($\Bbb Z$). Este último, naturalmente, pueden ser generalizadas en diferentes grados; en particular, es un ejemplo de un anillo conmutativo con identidad, que no es totalmente un objeto definido. Otro ejemplo de un anillo es el anillo de polinomios en una variable sobre los números enteros, $\Bbb Z[x]$, lo que en sí es una extensión de los números enteros. Pero no todos los casos de una generalización necesita para ser una extensión: por ejemplo, el "reloj de la aritmética" anillo de $\Bbb Z_{12}$ no es una extensión de $\Bbb Z$.
