Patrones ocultos en $\sin(a x^2)$

Question

Descubrí patrones inesperados en el gráfico de la función

$$f(x) = \sin(a\ x^2)$$

con $a = \pi/b$ , $b=50000$ y argumentos enteros $x$ que van desde $0$ a $100000$ . Es fácil entender que hay algún tipo de simetría local en la trama, pero la existencia de patrones intrincados como estos

me asombró.

¿Existe alguna explicación sencilla de estos patrones regulares que surgen al combinar funciones tan "inconmensurables" como $\text {sine}$ ¿y la cuadratura? Especialmente de sus formas específicas, de su distinción creciente y de las distancias entre ellas?

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Añadido: Este patrón lo he encontrado hoy en algún punto de la trama:

¿Ves los "pasillos"?

Anhelan una explicación.

Answer 1

Se trata del fenómeno conocido como aliasing, provocado por el hecho de que se está muestreando una señal que varía rápidamente con una frecuencia demasiado baja. Tiende a crear réplicas de la señal original, pero dilatadas en el tiempo.

Cuando $a$ está cerca de $2m\pi$ tenemos en enteros

$$\sin an^2=\sin(a-2m\pi)n^2$$

que es una réplica de la función original con el coeficiente más pequeño $a'=a-2m\pi$ y esto es similar a una dilatación del tiempo con

$$n'=\sqrt{\frac{a'}a}n$$ para que

$$\sin an^2=\sin an'^2.$$

Como se puede comprobar en el gráfico, la curva azul y la verde coinciden en los números enteros ( $a=6, a'=6-2\pi$ ).

Los otros patrones se obtienen de forma similar con un desplazamiento de fase (como los valores en medios enteros, correspondientes a $\cos a'n^2$ ).

Answer 2

[Para comprobarlo todo, puede visitar este interactivo página].

Hay varios aspectos de la trama de $f(x) = \sin(a x^2)$ para argumentos enteros $x$ que necesitan explicación, especialmente

1. su periodicidad

2. la simetría del período

3. sus patrones recurrentes

Todo esto se puede explicar directamente de forma similar:

Periodicidad

$$\sin(a x^2) = \sin(a (c + x)^2) = \sin(a (c^2 + 2cx + x^2)) = \sin(ac^2 + 2acx + a x^2) =\sin(a x^2)$$

si $ac^2 = 2\pi m$ y $ac = \pi$ cuando $x$ es un número entero. Con $a = \pi/b$ esto se cumple para $c = b$ , siempre y cuando $b$ es par. Aquí, $b=500$ .

Simetría del periodo

$$\sin(a x^2) = \sin(a (b - x)^2) = \sin(a (b^2 - 2bx + x^2)) = \sin(ab^2 - 2abx + a x^2) = \sin(a x^2)$$

Patrones recurrentes

El patrón recurrente más destacado es el primer pico de $f(x) = \sin(a x^2)$ Por ejemplo, para $b = 5000$ :

Tomemos como ejemplo el tercero de estos patrones que se encuentra exactamente en la mitad del período de $f(x) = \sin(a x^2)$ es decir, en $x_0 = b/2$ .

Ampliado, se ve así:

Lo encontramos:

$$\sin(a (2x)^2) = \sin(a (x_0 + 2x)^2) = \sin(a (x_0^2 + 4x_0x + 4x^2)) = $$

$$\sin(ax_0^2 +4ax_0x + 4ax^2) = \sin(\pi b/4 + 2\pi bx + 4a x^2) = \sin(4a x^2)$$

que se mantiene cuando $b$ es divisible por $8$ . Un cálculo similar muestra que en este caso

$$\sin(a (2x+1)^2) = -\sin(a (x_0 + 2x+1)^2)$$

Esto todavía no es toda la historia que hay que contar, sino un comienzo.

Answer 3

He encontrado aliasing en una tabla de registro. Sólo hay que usar Excel para trazar el error en una tabla de cuatro posiciones con E(x)= Round(Log(x),4)-Log(x) para todos los 9000 valores de 1 a 10. Los valores del error variarán de -0.5E-4 ro +0.5E-4. El gráfico tendrá rayas verticales blancas donde la pendiente de la función logarítmica es 1/4, 1/5, etc.