¿Por qué es $\frac{1}{\frac{1}{X}}=X$?

Question

Alguien me puede ayudar a entender en términos básicos, ¿por qué $$\frac{1}{\frac{1}{X}} = X$$

Y mi libro dice que "para simplificar el recíproco de una fracción, invertir la fracción"...no entiendo esto porque no es recíproco, por definición, el invertir de la fracción?

Answer 1

$1/x$ es, por definición, el número que se multiplica $x$ conseguir $1$ (suponiendo que $x\ne 0$).

Del mismo modo, $1/\left(1/x\right)$ es el número que se multiplica $1/x$ conseguir $1$.

Pero espera un segundo: hemos aprendido en la primera frase de que ese número es $x$.

Answer 2

Tal vez esto le ayudará a ver por qué $\;\dfrac 1{\large \frac 1X}= X.\;$ multiplicamos numerador y denominador por $X$, lo que podemos hacer, porque nos puede multiplicar cualquier número por $\dfrac XX = 1$ sin cambiar el valor real de la serie:

$$\frac 1{\Large \frac 1X}\cdot \frac XX = \frac X1 = X$$ $$ $$

Answer 3

$$y=\frac1{\frac 1 x} $$ $$y'(x)=\left(\frac1{\frac 1 x}\right)' = -\left(\frac 1 {\left(\frac 1x\right)^2}\right)\left({\frac 1 x}\right)' = \frac 1 {\left(\frac 1x\right)^2} \cdot {\frac 1 {x^2}} = \frac {y^2(x)}{x^2}$$

Así que tenemos que $$x^2dy = y^2dx\\ \int \frac{dy}{y^2} = \int \frac{dx}{x^2}\\ -\frac{1}{y} = -\frac 1 x + C\\$$

Vamos a echar un vistazo a $y(1)$. $\frac 1 1 = 1$, esto ya está explicado en un problema más común aquí: ¿Por qué es $n$ dividido por $n$ igual a $1$? Por lo $y(1)=\frac{1}{\frac{1}{1}} =\frac 1 1 = 1$.

Tenga en cuenta que he perdido una posible solución, $y(x)=0$, dividiendo por $y$. Pero desde $y(1)=1$, que en realidad no es la solución.

De nuevo: $y(1)=1$, lo $~-\frac 1 1 = -\frac 1 1 + C ~~\Rightarrow~~ C=0$. A continuación,$\frac {1} {y} = \frac {1}{x} \Rightarrow x=y$.

Answer 4

Hace este trabajo para usted? Empezar con $${1\over1/x}$$ Multiply top and bottom by $x$: $${1\over1/x}{x\over x}={x\over(1/x)x}={x\over1}=x$$

Answer 5

Simbólicamente: $$ \frac{1}{\frac{1}{X}}=1\div \frac{1}{X}=1\times\frac{X}{1}=X$$ O $$ \frac{1}{\frac{1}{X}}= \frac{1}{\frac{1}{X}} \times \frac{X}{X}=\frac{X}{1}=X$$ De forma intuitiva:

Nos están preguntando cómo muchos 1/X piezas que pueden encajar en un todo. Claramente debe haber X ellos!!