¿Teoría del anillo se conecta con el análisis?

Question

Soy estudiante que se interesa en el análisis pero ahora estoy tomando algunos cursos de postgrado álgebra.

Tengo que decir que disfruto mucho algebra especialmente teoría del anillo.

Me gustaría mucho encontrar y estudiar aspectos en el análisis combinado con la teoría del anillo y avanzado álgebra.

Sé que un campo de análisis que utiliza teoría del anillo y módulo. Es la teoría de la algrbras de Banach.

¿Hay cualquier más campos de análisis que utilizan la teoría del anillo (y generalmente avanzada algebra)?

Answer 1

En matemática de la teoría de control se produce el anillo de $\mathbb K^{n\times n}[x]$ de la matriz de polinomios. Aquí usted puede hacer preguntas como es una matriz dada polinomio a(x) es invertible? Respuesta: si $\det(A(x))\in\mathbb K\setminus\{0\}$; en este caso, $A(x)$ se llama $unimodular$.

Otra pregunta que surge naturalmente es de lo más simple representante de $A$ bajo la similitud transformar $A\to SAT$ $S$ $T$ unimodular. Esto conduce a la Smith-Normal-Form.

Answer 2

C *-álgebras son importantes en análisis funcional.

Answer 3

En análisis complejo, es bastante a menudo en contacto con el anillo de la teoría. Consideremos por ejemplo el conjunto de todos los holomorphic(=analítica) de las funciones de un dominio (=no-vacío, abierto, conectado subconjunto de $\mathbb{C}$) $G$, es decir, $$ H(G) := \{ f: G \rightarrow \mathbb{C} \, | \, f \text{ holomorphic in } G \} $$

De este conjunto, equipado con pointwise la adición y la multiplicación, forma un anillo conmutativo con elemento de identidad. De hecho, $H(G)$ es incluso un integrante de dominio. Cuando se considera el conjunto más grande $M(G)$ de meromorphic funciones en $G$, este conjunto es aún un campo. Mediante el uso de la llamada factorización de Weierstrass teorema (ver https://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_factorization_theorem), uno puede mostrar que, de hecho, $M(G)$ es el cociente campo de $H(G)$. Véase, por ejemplo, Conway, "Funciones de Una Variable Compleja I + II" y los libros sobre análisis complejo por Remmert. Un buen artículo sobre este tema es, por ejemplo, Royden, "Anillos de analítica y meromorphic funciones".

Answer 4

Una conexión natural es con el Análisis infinitesimal, mediante la construcción de los hyperreals como el cociente de un conveniente ideal maximal MAX del anillo de secuencias de números verdaderos, o en fórmulas $\mathbb{R}^{\mathbb N}/\text{MAX}$.