Condición sobre los polinomios mónicos de segundo orden para que un anillo conmutativo sea un dominio integral

Question

Estoy tratando de probar este resultado:

Dejemos que $A$ sea un anillo conmutativo diferente de $\{0\}$ , $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[X]/(X^2)$ . Demostrar que si cualquier polinomio mónico de grado $2$ de $A[X]$ tiene como máximo dos raíces en $A$ entonces $A$ es un dominio integral.

He tratado de suponer que $A$ no es un dominio integral, por lo que $\exists a,b\in A$ con $a,b\ne 0$ y $ab=0$ . Si $a\ne b$ el polinomio $X(X-a+b)$ tiene tres raíces diferentes: $0,a-b,$ y $a$ Lo cual es absurdo.

Sin embargo, si $a=b$ (para que $a^2=0$ ), no encuentro la manera de llegar a un absurdo. El polinomio $X^2$ tiene dos raíces diferentes: $0$ y $a$ así como cualquier $xa$ para $x\in A$ . Se producirá un absurdo si existe $x\in A$ tal que $xa\notin \{0,a\}$ Y no veo por qué el hecho de separar los tres anillos mencionados asegura que sea así.

Answer 1

Como mencionó el OP el problema se reduce fácilmente a la siguiente situación:

Si $A$ no es un dominio integral y $a\in A-\{0\}$ es un zerodivisor, entonces $a^2=0$ y $ba\neq 0$ para cualquier $b\in A-\{0,a\}$ .

¿Qué conclusión podemos sacar ahora sobre el anillo $A$ ? Bueno, entendemos que $A$ es exactamente uno de los anillos excluidos: ya que $(ba)a=0$ y $ba\neq 0$ debemos tener $ba=a$ Así que $b\in A-\{0,a\}$ implica $ba=a$ , o lo que es lo mismo $(b-1)a=0$ . Esto nos da dos posibilidades: $b=1$ o $b=a+1$ . Por lo tanto, obtenemos $A=\{0,1,a,a+1\}$ y $a^2=0$ . Ahora podemos tener $1+1=0$ , $1+1=1$ o $1+1=a$ . En el primer caso $A\simeq\mathbb Z_2[X]/(X^2)$ en el segundo caso $A=\{0\}$ mientras que en el tercer caso $A\simeq\mathbb Z_4$ una contradicción.

Answer 2

Tiene un comienzo útil. Sin duda te has dado cuenta de que los anillos no triviales que figuran como excepciones tienen exactamente cuatro elementos. Esto es algo que podemos utilizar. Puede ser un poco exagerado, pero esta pregunta nos da un censo completo de anillos de cuatro elementos: $$ \mathbb{Z}/4\mathbb{Z},\quad \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},\quad \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[X]/(X^2),\quad\text{and}\quad\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[X]/(X^2+X+1). $$ La última entrada es el campo finito de cuatro elementos, es decir, un dominio integral. La segunda entrada no es un dominio integral, pero sus cuatro elementos son ceros de $X^2+X$ . El primero y el tercero aparecen en la lista.

Ya ha demostrado que en un posible contraejemplo $R$ debemos tener un elemento $a\neq0$ con las propiedades que $a^2=0$ y que $ra\in\{0,a\}=I$ , el ideal generado por $a$ para todos los elementos $r\in R$ . Asumiendo que $R$ no es el anillo cero, podemos entonces concluir que el elemento $a$ no es ni $\pm1$ . Por lo tanto, el anillo $R$ tiene al menos cuatro elementos: $0,1,a,a+1$ . Si estos son todos los $R$ Entonces podemos utilizar el censo anterior para llegar a la conclusión deseada.

Supongamos que existe un elemento $b\in R\setminus\{0,1,a,1+a\}$ . Consideremos el producto $ab\in I$ . Se trata de $a$ o $0$ . Si $ab=0$ Entonces su primera idea de $X(X-a+b)$ obras. Del mismo modo, si $ab=a$ entonces $$a(b-1)=ab-a=a-a=0.$$ Una vez más, estamos en condiciones de reutilizar su primera idea (con $b-1$ en lugar de $b$ ) - el polinomio $X(X-a+b-1)$ tiene al menos tres ceros distintos $0,a,a+1-b$ .