¿Existe un nombre para la relación de sec(x) con tan(x)?

Question

En un par de identidades trigonométricas, que tienen que ver con integrales y derivadas, se ve una relación entre tan(x) y sec(x). De forma similar, entre csc(x) y cot(x).

$ \frac{d}{dx}\tan(x) = \sec^2(x) $

$ \frac{d}{dx}\sec(x) = \sec(x) \tan(x) $

$ tan^2(x) + 1 = sec^2(x) $

¿Existe un nombre para esta aparente relación entre $\tan(x)$ y $\sec(x)$ ? ¿Algo así como "complementarios", o "homólogos" entre sí ?

Answer 1

Yo no diría que es "nada especial". De hecho, es bastante especial. Si $f(x)$ y $g(x)$ son funciones que satisfacen $f'(x) = g(x)^2$ y $f(x)^2 + 1 = g(x)^2$ entonces $f'(x) = f(x)^2 + 1$ . Pero esa es una ecuación diferencial cuya solución general es $f(x) = \tan(x + C)$ , donde $C$ es una constante arbitraria. Y entonces obtenemos $g(x)^2 = \tan^2(x+C) + 1 = \sec^2(x+C)$ Así que $g(x) = \pm \sec(x+C)$ .

Answer 2

No, esta relación no tiene nombre, es una coincidencia. No hay nada especial en las identidades que mencionas. De hecho, la existencia de un nombre separado " $\sec(x)$ "para la función $\frac{1}{\cos(x)}$ es sólo un accidente histórico - las identidades que has declarado son realmente relaciones entre $\sin$ y $\cos$ o incluso más propiamente, realmente relaciones de la función $e^{ix}$ con ella misma.