¿Qué es una definición formal de la serie?

Question

Hay una definición formal de la serie? Por ejemplo, el cardenal suma tiene una definición formal tal que $\sum a_i$ = $\bigcup a_i$. ¿Hay alguna definición clara para la serie de número real o complejo?

La definición de mi libro es la suma de $a_0 + ... + a_n$. Esto parece muy intuitiva a mí no me gusta..

Traté de definir la serie tal que $\gamma(0) = a_0$ $\gamma(n+1) = f_n(\gamma(n))$ donde $f_n(x) = x+ a_n$

Desde $f_n ≠ f_{n+1}$, yo no puedo aplicar finito recurssion teorema. Sin embargo, parece evidente que el $\gamma$ es una función y único. ¿Cómo puedo probar la existencia y unicidad de $\gamma$?

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Me han demostrado que "Si a es un conjunto, 'c' de un punto fijo en Un y $f_n : A →A$ una función para cada $n\in \mathbb{N}$, entonces existe una única función de $\gamma : \mathbb{N} →A$ tal que $\gamma(0) = c$$\gamma(n+1) = f_n(\gamma(n))$. Esta es un poco la forma generalizada de original finito teorema de recursión. Deje $\alpha$ ser una secuencia. Deje $f_n(x)=x+\alpha(n+1) : F→F$. (F denota un campo arbitrario aquí) Entonces por el teorema anterior, podemos construir $\gamma$. Puede comprobarse fácilmente que $\gamma(n)$ es una suma de $a_0,...,a_n$.

Por cierto, nunca dije que la serie es una suma finita'. Por supuesto, la serie es una secuencia..

Answer 1

$$\sum_{i=1}^2a_i=a_1+a_2$$

$$\sum_{i=1}^{n+1}a_i=\sum_{i=1}^na_i+a_{n+1}$$

$$\sum_{i=1}^{\infty}a_i=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^na_i$ $ Si el límite existe.

Answer 2

Tomar cualquier secuencia $(a_0,a_0,\ldots)$ de los números reales. Definir una función $r$ en secuencias finitas de números reales tales que si $s$ tiene una longitud de $n-1>0$, $r(s)$ es el último valor de $s$$a_n$. Si la longitud de $s$ $0$ (a los que nos lo permite) y, a continuación,$r(s)=a_0$. El (contables) recursividad teorema da una única secuencia $(b_0,b_1\ldots)$ tal que $b_{n+1}=b_n+a_{n+1}$ y que define la serie. Tenga en cuenta que la recursividad es permitido dependen de todos secuencia finita de valores.

Hay dos cosas que usted podría pensar que no son rigurosos aquí: El "largo" y el "último valor". Una secuencia finita es una función con dominio finito ordinal. Este ordinal es la longitud, que es, por tanto, bien definido. los elementos de un ordinal son de nuevo los números ordinales y el valor en la más grande de su tipo ordinal en el dominio es el "último valor".

Answer 3

Para responder a la pregunta en el título, una serie es un par de secuencias $(x_n)_{n\geqslant0}$ y $(S_n)_{n\geqslant0}$ tal que $S_n=\sum\limits_{k=0}^nx_k$ $n\geqslant0$(con las evidentes modificaciones de secuencias y series indexadas por $n\geqslant i$ $i\ne0$) por cada ciento.