Morfismo de las álgebras exteriores

Question

Dejemos que $k$ sea un campo, y que $V$ y $W$ sea $k$ -espacios vectoriales de dimensiones $n$ y $m$ respectivamente, y dejemos que $f:V\to W$ ser un $k$ -transformación lineal. Sea $\Lambda(V)$ y $\Lambda(W)$ denotan las álgebras exteriores de $V$ y $W$ respectivamente. Así que tenemos $$\Lambda(V) = \Lambda^0(V)\oplus\Lambda^1(V)\oplus\cdots\oplus\Lambda^n(V)$$ y $$\Lambda(W) = \Lambda^0(W)\oplus\Lambda^1(W)\oplus\cdots\oplus\Lambda^m(W).$$

El página de wikipedia sobre las álgebras exteriores afirma que existe una función única $\Lambda(f):\Lambda(V)\to\Lambda(W)$ tal que $\Lambda(f)|_{\Lambda^1(V)}:\Lambda^1(V)\to\Lambda^1(W)$ se define por $\Lambda(f)(v)=f(v)$ .

De hecho, $\Lambda(f)$ preserva la graduación (es decir, puede escribirse como una suma de mapas $\Lambda^k(f):=\Lambda(f)|_{\Lambda^k(V)}:\Lambda^k(V)\to\Lambda^k(W)$ ). Si $1\leq k \leq n$ entonces $\Lambda(f)$ viene dada por $$\Lambda^k(f)(v_1\wedge\cdots\wedge v_k) = f(v_1)\wedge\cdots\wedge f(v_k).$$

No entiendo cómo esta función actúa sobre $\Lambda^0(V)=k$ . Sé que tenemos un mapa $$\Lambda^0(f):\Lambda^0(V)\to\Lambda^0(W)$$ que en realidad es lo mismo que $$\Lambda^0(f):k\to k.$$

Mi pregunta tiene dos partes: ¿qué es $\Lambda^0(f)$ y cómo se determina a partir de la propiedad de mapeo universal para álgebras exteriores?

Answer 1

El mapa es el mapa de la identidad. El mapa debe ser $k$ -lineal, por lo que $$\Lambda^0(f)(a) = \Lambda^0(f)(a\cdot 1) = a\Lambda^0(f)(1)$$ por lo que el mapa está completamente determinado por la imagen de $1$ . Pero como es un morfismo de álgebras, el mapa debe enviar $1$ a $1$ Así que $\Lambda^0(f)(1)=1$ Por lo tanto $\Lambda^0(f)(a) = a$ para todos $a\in k$ .