Introducción: he sido el estudio de las integrales de la forma $$\int_0^\infty \frac{x^a}{(e^x-1)^b}dx$$ donde a y b son reales los parámetros. He sido capaz de encontrar formas cerradas para la integral en términos de la de Riemann Zeta función, la función Gamma y la Polygamma funciones siempre que la integral converge cuando al menos uno de los parámetros es un entero positivo.
Pensé entonces generalizar esto para el caso en que a y b no son enteros. Como un principio que considera la integral $$\int_0^\infty \sqrt\frac{x}{e^x-1}dx$$ Using substitution methods and integration by parts I deduced that $$\int_0^\infty \sqrt\frac{x}{e^x-1}dx=\int_1^\infty \frac{\sqrt{\ln x}}{x\sqrt{x-1}}dx=\int_0^1 \sqrt\frac{-\ln x}{x(1-x)} dx=2\sqrt2\int_0^1 \sqrt\frac{-\ln x}{1-x^2}dx$$ $$=\sqrt2\int_0^1 \frac{\arcsin x}{x\sqrt{-\ln x}}dx=\sqrt2\int_0^\infty \frac{\arcsin(e^{-x})}{\sqrt x} dx=2\sqrt2\int_0^\infty \arcsin(e^{-x^2})dx$$ $$=2\sqrt2\int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{-\ln(\sin x)} dx$$
He probado diferentes métodos en cada integral pero casi nada ha funcionado. Con cada método no se muestra aquí la integral es mucho más complicado. La última integral es similar a la Clausen integral, pero yo no era capaz de establecer una relación entre ellos. Por supuesto que es posible representar el valor de la integral como una serie infinita, pero mi pregunta es que ¿alguien sabe un método para evaluar esta integral en términos de bien-conocido funciones especiales o constantes matemáticas? Gracias de antemano.
