¿Cómo se llama este teorema?

Question

Sucede muy a menudo en la física que encontramos relaciones como:

$$\int_V f(x) dx = \int_V g(x) dx$$

para un volumen arbitrario $V$ . A partir de esto solemos decir "Como el volumen es arbitrario, los integrados tienen que ser iguales" y concluimos $f(x) = g(x) $ .

Curiosamente, esto se afirma a menudo sin mencionar siquiera el nombre del teorema que nos permite hacerlo.

Intuitivamente, está claro por qué es así; pero ¿cuál es el teorema que nos permite hacerlo formalmente?

Answer 1

Dejemos que $(X,\mathcal{E},\mu)$ sea un espacio de medidas. En general, si $f,g:X\to\mathbb{R}$ son ambos medibles con respecto a $\mathcal{E}$ y satisfacen $$ \int_A f\,\mathrm d\mu =\int_A g\,\mathrm d\mu,\qquad \text{for all } A\in\mathcal{E}, $$ entonces $f=g$ en casi todas partes con respecto a $\mu$ . De hecho, basta con exigir la identidad para todos los $A$ en algunos $\cap$ -generador estable de $\mathcal{E}$ .

En particular, si deja que $(X,\mathcal{E},\mu)=(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),\lambda)$ donde $\lambda$ es la medida de Lebesgue, entonces si $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ son medibles por Borel, integrables y satisfacen $$ \int_A f\,\mathrm d\lambda=\int_Ag\,\mathrm d\lambda,\qquad\text{for all }A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}), $$ se puede concluir que $f=g$ en casi todas partes con respecto a $\lambda$ . De nuevo, basta con exigir la identidad, por ejemplo, para todos los $A$ de la forma $[a,b]$ , $a<b$ . Hay que tener en cuenta que nunca se puede estar seguro de la identidad puntual.

Answer 2

En realidad, esta afirmación no es cierta en general. Considere las siguientes funciones $f,g$ donde $f$ es la función cero y definimos $g(x) = 0$ para $x \neq 0$ y $g(0)=1.$ Está claro que las dos funciones no son iguales, sin embargo para cualquier intervalo $[a,b],$

$$ \int_a^b f(x) \ dx = \int_a^b g(x) dx = 0. $$

Utilizando un argumento similar se puede construir un contraejemplo en $\Bbb R^3.$

Sin embargo, esta afirmación es cierta si suponemos que $f$ y $g$ son continuos. Esto se debe a que si $f(x) \neq g(x),$ para algunos $x \in \Bbb R^3,$ entonces hay una vecindad abierta para la cual $f$ y $g$ no son iguales (y por continuidad uno es siempre mayor que el otro). Integrando sobre este conjunto se obtiene una contradicción.

Sin embargo, no sé si este resultado tiene un nombre y no me sorprendería que no lo tuviera. Los teoremas importantes suelen tener un nombre, ya que son de referencia común, pero los resultados más pequeños como éste no suelen tenerlo.

Edición: Algunas condiciones para $V$ también puede ser necesario. Una condición suficiente (que utiliza mi boceto de prueba) si $V$ para ser abierto.

Answer 3

Creo que el tipo de teorema que se debe utilizar formalmente depende del tipo de funciones.

Si son continuas sólo tendrías que demostrarlo por contradicción: suponer que hay un punto en el que no son iguales. Por continuidad hay toda una vecindad de ese punto donde $f-g$ tiene signo constante. Integrando $f-g$ en ese volumen lleva al absurdo.

Si las funciones que está considerando están en $L^p$ , $p \in [0, \infty)$ entonces el tramo lineal de las funciones características de los volúmenes finitos es denso en el espacio dual $L^q$ así que $f-g$ debe ser un vector cero. Dado que son sólo clases de equivalencia de funciones iguales a.e. esto no contradice el ejemplo dado por ctoi. Sin embargo, hay que tener en cuenta que cuando en la práctica (en la física) utilizamos funciones discontinuas, los valores en cualquier punto concreto son irrelevantes - toda la acción se realiza en conjuntos abiertos (por ejemplo, en QM la función de onda en un punto concreto no tiene sentido, lo que importa es la integral).