Que $n \ge 2, n \in \mathbb N$. $A_n$ denota el número de soluciones del número entero positivo a la ecuación $$x_1+2x_2+...+nx_n=n^2.$ $ prueba desigualdad $$\frac{n^n(n-1)^{n-1}}{2^{n-1}\left(n!\right)^2}<A_n<\frac{n^{2n-1}}{\left(n!\right)^2}$ $
No tengo ni idea de cómo resolver este problema.
Tenga en cuenta que $A_n$ también es igual al número de tuplas $(y_1,y_2,\ldots,y_n)\in\mathbb{Z}^n$ tal que $0<y_1<y_2< \ldots y_n$ y $y_1+\ldots +y_n=n^2$.
[Considere el bijection $y_1=x_n,y_2=x_n+x_{n-1}$, $\ldots$, $y_n=x_n+\ldots +x_1$.]
El número de tales tuplas es menor que $\dfrac{1}{n!}$ veces el número de soluciones del número entero positivo a $z_1+\ldots +z_n=n^2$, ${n^2-1 \choose n-1}$, que es a más $\dfrac{n^{2(n-1)}}{(n-1)!}=\dfrac{n^{2n-1}}{n!}$-esto da el límite superior.
No hay tiempo para el límite inferior.
Pregunta de OP el número de soluciones del número entero positivo a la ecuación $x_1+x_2+...+x_n=n^2.$, tenemos $$A_n>\frac{1}{2^{n-1}n!}\,\binom{n^2-1}{n-1}\geq\frac{\big(n(n-1)\big)^{n-1}}{2^{n-1}n!(n-1)!}=\frac{n^n(n-1)^{n-1}}{2^{n-1}(n!)^2}\,.$ $
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