Encuentre un mapeo biyectivo que demuestre que [0,1] y [0,1) tienen la misma cardinalidad

Question

Necesito demostrar que los dos conjuntos $[0,1]$ y $[0,1)$ tienen la misma cardinalidad. Sé que para demostrar esto debo demostrar que existe $f$ tal que $f:[0,1]\to[0,1),$ pero no estoy seguro de cómo proceder.

Agradecería cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

Define:

\begin{equation} f(x)=\begin{cases} \frac{1}{1+n}, & \text{if $x = \frac{1}{n}$ , $n \in \mathbb{N}$ }.\\ x , & \text{otherwise}. \end{cases} \end{equation}

Answer 2

Este tipo de cosas a menudo se reducen a utilizar el hecho de que existe una biyección entre los enteros no negativos y los enteros positivos, lo que permite desplazar todo en uno para hacer sitio a un punto extra (por ejemplo, la paradoja del hotel de Hilbert); sólo hay que encontrar una copia adecuada de $\mathbb{N}$ en el problema.

De hecho, podemos caracterizar completamente las biyecciones:

Lema: toda biyección entre $[0,1]$ y $[0,1)$ puede expresarse unívocamente como:

• Una inyección $g : \mathbb{N} \to [0,1)$
• Una biyección $h : [0,1) \setminus g(\mathbb{N}) \to [0,1) \setminus g(\mathbb{N})$

y a la inversa, dados tales datos, existe la correspondiente biyección

$$ f : [0,1] \to [0,1) : x \mapsto \begin{cases} g(0) & x = 1 \\ g(g^{-1}(x) + 1) & x \in g(\mathbb{N}) \\ h(x) & x \in [0,1) \setminus g(\mathbb{N})\end{cases} $$

Answer 3

Supongamos que $A \subset [0,1]$ es contablemente infinito y $1 \in A$ . Entonces $[0,1] \setminus A=[0,1) \setminus A$ . Así que la función de identidad, llámala $f$ es una biyección de $[0,1] \setminus A$ a $[0,1) \setminus A$ . ¿Se puede definir una biyección, llamarla $g$ de $A$ a $[0,1) \cap A$ ? Una vez hecho esto,

$$h(x)=\begin{cases} g(x) & x \in A \\ f(x) & x \not \in A \end{cases}$$

es una biyección de $[0,1]$ a $[0,1)$ . Una pista para construir $g$ Consideremos la enumeración $A$ como secuencia $\{ x_n \}_{n=1}^\infty$ con $x_1=1$ .