¿Prueba de Wald ' segunda identidad?

Question

Estoy muy confundido acerca de que el último paso de la prueba. Si $\lim_{n\to\infty}ES_{\tau}^21_{\tau>n}=0$, a continuación, utilizar la descomposición $S_{\tau}=S_n+(S_{\tau}-S_n)$, I se $\lim_{n\to\infty}E((S_{n}^2+2S_n(S_{\tau}-S_n)+(S_{\tau}-S_n)^2)1_{\tau>n})=0$, luego tenemos a$\lim_{n\to\infty}E((2S_n(S_{\tau}-S_n)+(S_{\tau}-S_n)^2)1_{\tau>n})=0$$\lim_{n\to\infty}E((S_n)^21_{\tau>n})=0$.

A continuación, $S_n$ $S_{\tau}-S_n$ son independientes, por lo $\lim_{n\to\infty}E(2S_n(S_{\tau}-S_n)1_{\tau>n})=\lim_{n\to\infty}E(2S_n)E(S_{\tau}-S_n)=0$?(No estoy seguro acerca de este paso, ya que la $\tau$ es ilimitado.)

A continuación, todavía tenemos que mostrar $\lim_{n\to\infty}E((S_{\tau}-S_n)^2)1_{\tau>n})=0$, razón por la conferencia de la nota dice que tenemos que mostrar $\lim_{n\to\infty}E((S_{\tau}-S_n))1_{\tau>n}|\mathscr{F}_n)=0$?

Answer 1

No puedo responder por qué la nota sólo se ve en el primer momento, pero a menos que mi memoria ha fallado, no mantenga la igualdad siguiente debido a la "extracción" propiedad e independencia (mapas mensurables $f$ tal que $f(S_{\tau} - S_n) \in L^1$)? $$ \Big| \Bbb{E}\big[f(S_{\tau}-S_n) 1_ {\tau > n} \mid \mathcal{F}_n\big] \Big| = 1_ {\tau > n} \, \Big|\Bbb{E}\big[f(S_{\tau}-S_n) \big] \Big| $$.. .si así , esta observación debe trabajar para $f(x) = x$ y $f(x) = x^2$ sin mucha mutación.