Conjunto canónico: función de correlación para energía potencial cuadrático

Question

En este artículo no puedo entender lo siguiente

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Un sistema dado tiene la energía potencial $ U(x_1,x_2,x_3) = k_1 x_1 ^ 2 + k_2 (x_2 x_1) ^ 2 + k_3 x_3 ^ 2 $.
Puesto que la energía es cuadrática, la matriz de correlación se da en términos del matriz hamiltoniana del $H$ por $ < x_i x_j > = k_BT (H ^ {−1}) _ {ij} \quad $ con $ \quad H_ {ij} = \frac {\partial^2 U} {\partial x_i \partial x_j} \quad $

Answer 1

Un sistema se encuentra en un baño de calor de la temperatura T, por lo que trabajamos con el ensemble canónico. Consideramos $N$ grados de libertad $x_1, x_2, ..., x_N$ $x$ es el vector de la $(x_1~ x_2 ~ ... ~ x_N)^T$. La energía potencial es cuadrática, por lo que puede ser expresado como una función de su segundo derivados:

$ U=\sum_{i,j} x_i ~H_{i,j} ~x_j = x^T H x ~~ $ con $H_{i,j}=\frac{\partial^2 U}{\partial x_i \partial x_j}$.

$H$ es asumido invertible. La función de partición $Z$, en la canónica conjunto es:

$ Z= \int (d^Nx) ~ e^{ -\frac{1}{2} \beta x^T H x} ~ = ~ \sqrt{\frac{(2 \pi)^N}{\det(H)}}~~ $ con $~~\beta=\frac{1}{k_BT}$,

donde hemos utilizado el multivariante fórmula de Gauss.

$ <x_i x_j> = \frac{1}{Z} \int (d^Nx) ~ x_i x_j e^{ -\frac{1}{2} \beta x^T H x} $

$ = \frac{1}{Z} (-\frac{2}{\beta})\frac{\partial}{\partial H_{i,j}}\int (d^Nx) ~ e^{ -\frac{1}{2} \beta x^T H x} $

$ = -2k_BT \frac{1}{Z} \frac{\partial Z}{\partial H_{i,j}} $

$ = -2k_BT \frac{\partial \ln(Z)}{\partial H_{i,j}} $

Sustituimos en la expresión de $Z$ que vimos anteriormente:

$ <x_i x_j>= k_BT \frac{\partial }{\partial H_{i,j}}(\ln(\det(H)) $

$H$ es invertible, por lo que utilizar la fórmula de Jacobi:

$ \frac{\partial }{\partial H_{i,j}}(\ln(\det(H)) = Tr(H^{-1} \frac{\partial H}{\partial H_{i,j}}) $

$\frac{\partial H}{\partial H_{i,j}}$ es una matriz para la cual el elemento $\{i,j\}$ $1$ y todos los demás elementos se $0$. En otras palabras:

$ E\equiv \frac{\partial H}{\partial H_{i,j}} $ con $ E_{k,l}=\delta_{k,i} \delta_{l,j}. $

$ Tr(H^{-1} \frac{\partial H}{\partial H_{i,j}}) = Tr(H^{-1}E) $

$ (H^{-1}E)_{k,l}=\sum_m H^{-1}_{k,m}E_{m,l}=\sum_m H^{-1}_{k,m}\delta_{m,i}\delta_{j,l} = H^{-1}_{k,i} \delta_{j,l} $

$ Tr(H^{-1} E)=\sum_n (H^{-1}E)_{n,n}=\sum_n H^{-1}_{n,i} \delta_{j,n} = H^{-1}_{j,i} = H^{-1}_{i,j} $

y

$ <x_i x_j> = k_B T H^{-1}_{i,j} $