Deje $R = \mathbb Z[x]$ y deje $M = (2, x)$ ser el ideal generado por a$2$$x$, considerado como un $R$-módulo.
- Mostrar que $\{2, x\}$ no es una base para $M$.
- Mostrar que cualquiera de los 2 elementos de $M$ son linealmente dependientes.
- Mostrar que $M$ no $R$-módulo.
Mi enfoque hasta ahora: Supongamos que por la vía de la contradicción $\{2, x\}$ es de hecho una base para $M$, a continuación, se seguiría que el $2$ $x$ son linealmente independientes, que es para $\alpha(x), \beta(x) \in \mathbb Z[x]$ si $2\alpha(x) + \beta(x)x = 0$ debe seguir ese $\alpha(x) = \beta(x) = 0$, pero se observa que el $\alpha(x) = x$ $\beta(x) = -2$ satisface esta ecuación y son ambos cero. A la conclusión de que $\{2, x\}$ es un conjunto linealmente dependiente de, una contradicción con nuestra hipótesis de que la $\{2, x\}$ es una base de $M$. A la conclusión de que $\{2, x\}$ no es una base para $M$.
Ahora estoy atascado en la segunda parte. Elijo dos arbitraria de elementos de $M = (2, x) = \{2f(x) + g(x)x : f, g \in \mathbb Z[x]\}$. Decir $a, b \in M$, a continuación, por la construcción de $a(x) = 2f_1(x) + g_1(x)x$$b(x) = 2f_2(x) + g_2(x)x$. Si $\alpha, \beta \in \mathbb Z[x]$, $a, b$ escalares y si $\alpha(x)a(x) + \beta(x)b(x) = 0$ queremos mostrar que $\alpha(x)$, $\beta(x)$ no son necesariamente ambos cero. Empecé tratando de elegir los valores de $\alpha$ $\beta$ distinto de cero tal que la igualdad se mantiene, pero nunca funciona. Cualquier ayuda se agradece.
Para la parte final, supongo que la segunda parte será de ayuda. Supongo que si nos muestran la dimensión de la $M$ $\mathbb Z[x]$ debe ser de 2, y luego ya sabemos que cualquiera de los dos elementos en $M$ debe ser linealmente dependiente, no podía existir. Pero mi razonamiento es una suposición, no sé por qué matemáticamente la dimensión debe ser de 2, o incluso si este es el mejor enfoque para esta parte del problema.
Finalmente he buscado en internet antes de hacer la pregunta aquí, he encontrado dos pruebas usando el concepto de 'rango', pero prefiero no usar esto en mi prueba ya que no estoy familiarizado con el concepto.
