¿Es correcto mi entendimiento de las relaciones binarias?

Question

En mi tarea se le pide

Determinar con razón si el binario relación es reflexiva, simétrica, antisimétrica o transitiva.

$$R = \{(a, b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \mid \text{ es un múltiplo entero de }b\}$$

Creo que es reflexiva ya que un número es múltiplo de sí mismo

Pero creo que no es simétrica porque tomar $(12,3)$, $12$ es un múltiplo de a $3$, lo $(12,3)$ existe en $R$, pero $3$ no es un múltiplo de a $12$ por lo tanto $(3,12)$ no $R$. Lo que no es simétrica

La parte que no puedo hacer que mi mente se trata es de si es o no es antisimétrica, nuestro libro de texto dice que una relación binaria $R$ sobre un conjunto $A$ es antisimétrica si y sólo si $a,b \in R$ y el tanto $(a,b)$$(b,a)$$R$,$a=b$.

Y en ese caso sería antisimétrica si utilizo $(1,1)$$(a,b)$? desde $1$ es un múltiplo de a$1$, $(a,b)$ $(b,a)$ están en $R$, e $a=b$, lo que es antisimétrica?

Yo realmente apreciaría si alguien me puede ayudar en esto, gracias.

Answer 1

Estás en lo correcto acerca de la $R$ ser reflexivo y no simétrica.

Sin embargo, no se ha demostrado que es antisimétrica. Sólo han dado un caso que es antisimétrica, es decir,$(1,1)$, pero tendrá que demostrar que es verdadera para todos los casos. Usted tendría que demostrar la siguiente declaración:

Para todos los $(a,b)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ el siguiente se tiene: Si $(a,b)\in R$$(b,a) \in R$,$a=b$.

Sin embargo, usted no será capaz de probar la instrucción, ya que es falso. Para demostrar que es falso que sólo se necesita un contador de ejemplo. Puede usted ver por qué cualquier caso, de la forma $(-a,a)$ donde $a\neq 0$ hace que sea falso?

Answer 2

Que $(a,b) \in \mathbb{Z}^2$.

Si $(a,b) \in R$, entonces el $a = m b$ $m \in \mathbb{Z}$.

Si $(b,a) \in R$, entonces el $b = n a$ $m \in \mathbb{Z}$.

Así que si $(a,b), (b, a) \in R$ entonces $$ un = m b = m (n una) = (m n) n m \iff = 1 \iff m = n = 1 \vee m = n = -1 $$ el primer caso significa $a = b$ y la segunda significa $a = -b$.

El segundo caso nos da ejemplos contrarios. por ejemplo, % y $(1, -1) \in R$ $(-1, 1) \in R$, $-1 \ne 1$.