Estudiante de primer año de cálculo: ¿por qué isn ' t el derivado de la pendiente de una recta secante con una infinitesimally pequeña distancia que separa los puntos?

Question

Estoy teniendo problemas con el límite de enfoque para el cálculo nunca desde que me enteré de lo infinitesimal definición. Tal vez usted me puede ayudar a resolver lo que me molesta de este año.

Buscando en el límite de la definición de la derivada de la ecuación tiene sentido. Sin embargo, lo que los viajes de mí es el hecho de que debido a la pendiente de la función no está definida cuando $\Delta x $ es igual a cero, ¿cómo podemos decir que la derivada es tangente en lugar de un ser infinitamente precisa la secante de la línea? Porque a mi entender, en orden para que sea tangente a la línea, se intersecta con la curva en un solo punto, sin embargo $\Delta x$ se aproxima a cero, nunca se alcanza, por lo $\Delta x$ debe ser mayor que cero, sin embargo infinitesimalmente pequeño, correcto?

Los matemáticos, en general, han abandonado esta idea ahora de lo que yo entiendo, con la excepción de la no-estándar de análisis. Puede alguien explicar donde mi pensamiento es el mal?

Answer 1

Porque a mi entender, en orden para que sea tangente a la línea, se intersecta con la curva en un solo punto, sin embargo Δx se aproxima a cero, nunca la alcanza, así que Δx debe ser mayor que cero, sin embargo infinitesimalmente pequeño, correcto?

Estás en lo correcto. Nosotros no lleguen a ese punto. Tomamos un límite.

El coloquialismo, "alcanzar el punto de" es una buena descripción antropomórfica. Los límites nos permiten estirar las limitaciones de los números reales empujando hacia el infinito y lo infinitesimal. Técnicamente, sin embargo, para adentrarse en ese territorio, tenemos que definir bien los límites. Esto es a menudo presentado con la epsilon-delta formalización.

Dicen que existe un límite de $f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$. A continuación, para cada $\epsilon>0$, existe alguna $\delta>0$ de manera tal que siempre que $0<\Delta x<\delta$, nos encontramos con $|f'(x) - \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}|<\epsilon$.

Podemos pensar de forma heurística del último párrafo como el siguiente: nuestro derivados existe si para cada número positivo $\epsilon$$\delta$, incluyendo la mayoría de los ridículamente pequeño, números a los que usted se pueda imaginar, siempre que $\Delta x$ está atrapado entre cero y ninguna de estas ridículamente pequeño de los números, la diferencia entre la derivada y la expresión original es imperceptible.

Pero espere un minuto, usted dice

...Δx debe ser mayor que cero, sin embargo infinitesimalmente pequeño, correcto?

El epsilon-delta definición parece insinuar que como bien, pero hay un problema: $$|f'(x) - \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}|<\epsilon$$

Esto no es menos que algún número real positivo $\epsilon$. Esto es menos de lo POSIBLE CUALQUIER número real positivo $\epsilon$. Tal concepto sólo existe dentro del formalismo de un límite, y no se trata de una cantidad mensurable. Eso es lo que se entiende por infinitesimal.

Debido al límite, entonces, la derivada no puede representar a cualquier posible la secante de la línea. No hay dos puntos que corresponden a $x+\Delta x$ $x$ que son indistinguibles! El valor de llegar ha convergido a la que representa la pendiente de la tangente.

Se agregó una nota: $\Delta x\rightarrow 0$ no sólo implica que el $\Delta x$ está ejecutando a través de los números positivos hacia el cero. Para el límite de existir, por lo general, requieren de ser las dos caras, lo que significa que $\Delta x\rightarrow0^+$ $\Delta x\rightarrow0^-$ debe producir el mismo resultado. En cualquier caso, la diferencia entre el $\Delta x$ cero y se convierte en minúscula.

Answer 2

Eres el tratamiento de la noción de "tangente" como pre-existente y preguntando cómo podemos decir que la derivada es (la pendiente) de la tangente. Pero la situación es más compleja que la que – por definición de la derivada, estamos definiendo lo que entendemos por la tangente en muchos casos en los que no había tal pre-existentes concepto. Así que la tarea es aclarar la pre-existentes, más restringido concepto de "tangente" y comprobar si coincide con la inducida por la derivada en los casos donde se aplica.

Su descripción de la tangente como la intersección de la curva en un punto no captura la pre-existentes concepto de tangente. Veamos cuatro ejemplos:

a) $f(x)=x^3$$x=1$. La tangente coincide con la curva en dos puntos (a $x=1$ y en algunos negativo $x$).

b) $f(x)=x$$x=0$. La tangente coincide con la curva en todas partes. Y lo que es peor, cualquier otra línea que pasa por el origen se cruza con la curva de una sola vez – por su definición de la tangente es el único no-tangente.

c) $f(x)=x^3$$x=0$. Aquí la tangente, de hecho, coincide con la curva en un solo punto, pero la curva se encuentra en diferentes lados de la misma, y es, al menos, no es obvio cómo distinguir esto de un ordinario de la línea de intersección de una curva sin el uso de cálculo.

d) $f(x)=x^2\sin\frac1x$$x=0$. Aquí la tangente, como se define por cálculo ($x$- eje) se cruza con la curva infinitamente a menudo en cualquier barrio de el origen. No sé de ninguna forma de definir esto como la tangente sin cálculo.

Así que para hacer tu pregunta en forma más precisa, sería necesario proporcionar una definición clara de cómo la "tangente" fue utilizado antes de la llegada de cálculo y en qué casos no se aplica a, y, a continuación, podríamos comprobar si el cálculo definición coincide con esta (y la expande).

Answer 3

Me gusta su línea de partida "estoy teniendo problemas con el límite de enfoque para el cálculo nunca desde que me enteré de lo infinitesimal definición". +1 para que. La respuesta corta a tu pregunta se encuentra en esa línea, porque de los siguientes no-teorema matemático:

Un no-teorema matemático: no Hay sonido de la teoría de infinitesimals disponible para un principiante en el cálculo y, por tanto, cualquier planteamiento basado en la infinitesimals está destinado a causar confusión.

El problema fundamental con un infinitesimal es que se trata de describir algo que es menor que cualquier número positivo y aún no cero. No existe tal cosa en el sistema numérico real. Hay una manera de definir "infinitesimals de manera racional", que se llama "No-estándar de Análisis", pero no es adecuado para un principiante en el aprendizaje del cálculo.

Es algo irónico, pero también sorprendente que el renacimiento de cálculo que sucedió con la idea de infinitesimals y muchos matemáticos enfrentado a una confusión similar como OP y por lo tanto hubo un esfuerzo concertado por parte de la comunidad matemática para descartar la infinitesimals totalmente y presente de cálculo de una manera que es sano y, por tanto, mucho menos confuso. Había otro problema con el cálculo aparte de la infinitesimals y fue que muchos de los importantes y profundos teoremas no tenía pruebas y a este último problema fue resuelto por medio de una adecuada teoría de los números reales.

En el párrafo anterior mencioné el "renacimiento de cálculo" debido a que el nacimiento de cálculo que pasó de largo en el tiempo de Arquímedes y los Griegos eran los que habían desarrollado cálculo (principalmente cálculo integral en sus fundamentos) sin infinitesimals y también tenían una adecuada teoría de los números reales. Lamentablemente no tiene el cálculo diferencial de las cosas que fue defendida tanto por la talla de Newton y Leibniz que la teoría pura de cálculo fue olvidado durante mucho tiempo.

---

Es nuestra gran suerte de que el infinitesimal enfoque ha sido descartada en nuestro tiempo. La definición de límite que usted debe centrarse en es la que implica la $\epsilon, \delta$ debido a que son mucho menos confuso si se presentan en forma adecuada. También algunos cálculos libros de texto para enseñar a los límites a través de saltar sobre la noción de derivados. Un límite que intervienen en el concepto de un derivado es un "difícil tipo de límite" (es decir, la "forma indeterminada" $0/0$) y es mejor evitar ese tipo de enfoque. Un principiante está bien si él/ella estudia límite sin saber nada acerca de derivados y posteriormente aprender un tipo especial de límites que son llamados derivados.

---

De todos modos le permite volver a las tangentes, secantes, y derivados. El concepto geométrico de una secante se define para cualquier tipo de curva sin necesidad de cálculo, pero la noción de tangente a un punto en una curva no puede ser definido en términos puramente geométricos manera sin el uso de conceptos de cálculo. El concepto de tangente no existe apriori sino que se define en términos de la derivada. Una excepción es que una tangente a un círculo puede ser definido sin apelar a ningún cálculo por que simplemente definir a ser una línea perpendicular al radio en el punto bajo consideración.

La idea de una secante de la línea de convertirse en una tangente en los puntos de la secante venir infinitamente cerca el uno del otro, es completamente no rigurosas idea y es utilizado por los instructores de alguna manera, dar una interpretación geométrica del concepto de derivados. No hay nada como "infinitamente" cerca. Dos puntos están en el mismo o en algún distancia específica a cada uno de los otros. Una secante es la línea que requiere esencialmente de dos puntos en la curva. Una tangente normalmente trata con un punto sobre la curva. No es así de ninguna manera una secante puede convertirse en una tangente.

Lo que el cálculo tiene para ofrecer aquí es el siguiente. Deje $f$ ser una función definida en un cierto intervalo de $I$ y deje $C$ ser la curva de la gráfica de la función y deje $c$ ser cualquier punto específico en el intervalo de $I$. Deje que el punto de $P$ en la curva de $C$$(c, f(c))$. Considerar otro punto de $x \in I$ tal que $x \neq c$ y deje $Q = (x, f(x))$ ser el punto correspondiente de la curva. La ecuación de la secante $PQ$ está dado por $$Y - f(c) = \frac{f(x) - f(x)}{x - c}(X - c)$$ The slope of this secant $PQ$ is $$\frac{f(x) - f(x)}{x - c}$$ and sometimes for some functions $f$ it is possible that the limit $$\lim_{x \to c}\frac{f(x) - f(x)}{x - c} = f'(c)$$ exists. When this happens we say that the curve $C$ possesses a tangent at point $P$ and its equation is $$Y - f(c) = f'(c)(X - c)$$ There are some corner cases to consider when the above limit is $\pm\infty$ but apart from that the above constitutes the definition of a tangent to a curve at a point $P$.

Answer 4

Para responder a la consulta contenida en el título de tu pregunta, la derivada es la sombra de la proporción de infinitesimals $\frac{\Delta y}{\Delta x}$. A veces, la sombra se conoce como el estándar de la parte. Por lo tanto, incluso en el infinitesimal enfoque de la derivada no es exactamente la relación, pero sólo la relación de redondeado a la unidad más cercana número real. Esto implica un cambio infinitesimal en valor.

La cuestión de "¿cómo se puede dividir por cero?" es uno de los que ha molestado a muchos autores históricamente, incluyendo a George Berkeley. En una serie reciente de artículos, hemos aclarado la situación. La situación es que Leibniz ya proporciona una explicación satisfactoria en términos de su generalizada relación de igualdad "hasta". No todo el mundo lo reconoció y, en particular, Berkeley no lo reconocen. En retrospectiva, está claro que Leibniz del marco teórico para justificar infinitesimals era más sólida base de Berkeley empirista (y algo confusa) la crítica de los mismos.